¿Existe un retardo durante la construcción del túnel?

Question

Una partícula que golpea una barrera de potencial cuadrada puede atravesar el túnel para llegar al otro lado y continuar. ¿Hay algún retraso en este proceso?

Answer 1

Hay un retardo de tiempo más o menos constante durante la tunelización que es aproximadamente proporcional a $\hbar$ sobre la altura de la barrera.

Consideremos para simplificar un haz de partículas monoenergético de energía $E=\hbar^2k^2/2m$ tratando de atravesar una barrera de longitud $l$ y la altura $V_0$ . Esto significa que la función de onda que llega a la barrera irá como $e^{ikx}$ y una parte de ella atravesará el túnel y formará una función de onda tunelizada a la derecha de la barrera que irá como $A_\textrm{tunnel}e^{ikx}$ . Este es el tratamiento estándar que se da en los textos de UG sobre QM (estoy trabajando con Cohen-Tannoudji) y se puede ampliar para dar cabida a un paquete de ondas en movimiento dependiente del tiempo mediante la superposición de diferentes energías de la manera habitual.

El tiempo de tunelización viene dado por el diferencia de fase entre los componentes entrantes y los tunelizados, es decir, en la fase de $A_\textrm{tunnel}$ . Esta fase cuenta el número de picos y valles de onda en los que se ha retrasado la función de onda saliente, lo que esencialmente da el retraso de tiempo que se desea. Para un paquete de ondas dependiente del tiempo, las diferentes fases entre los componentes de diferente energía conforman la posición en la que se encuentra el paquete de ondas, por lo que no debería sorprender. En tal situación, dividiendo la fase acumulada por la energía central se obtiene el tiempo.

(En una nota relacionada, es importante darse cuenta de que a menos que el pulso sea muy estrecho en energía y, por lo tanto, bastante amplio en el tiempo, la barrera será altamente dispersiva y puede alterar bastante radicalmente la forma del pulso. Esto se debe a que los componentes de mayor energía harán un túnel más fácilmente que los de mayor longitud de onda).

Los detalles de la tunelización de barrera cuadrada se dan en Cohen-Tannoudji, por ejemplo (vol. I, edición inglesa de 1977, p. 72), de donde se puede obtener la amplitud de tunelización como $$ A_\textrm{tunnel}=\frac{e^{-\kappa l}}{\cosh(\kappa l)- i\frac{k^2-\kappa^2}{k\kappa}\sinh(\kappa l)} $$ donde $\kappa=\sqrt{2m(V_0-E)}/\hbar$ . La primera característica importante es que, efectivamente, es exponencialmente decreciente con $l$ , yendo como $A_\textrm{tunnel}\propto e^{-2\kappa l}$ para los grandes $l\gtrsim 1/\kappa$ . La segunda característica importante es que sí tiene una fase no trivial. Para simplificar, consideremos el caso de una barrera bastante grande, para la cual $$ A_\textrm{tunnel}\approx\frac{e^{-2\kappa l}}{1- i\frac{k^2-\kappa^2}{k\kappa}} =\frac{ik\kappa e^{-2\kappa l}}{k^2-\kappa^2+ik\kappa} =\frac{ik\kappa e^{-2\kappa l}}{(k+i\kappa)^2} = e^{-2\kappa l}\frac{k\kappa}{|k+i\kappa|^2}e^{i\frac{\pi}{2}-2i\arctan(\kappa/k)} . $$ Para $E=V_0/2$ , se obtiene $k=\kappa$ y la fase desaparece. Para $E<V_0$ la fase se acerca $e^{i\pi/2}$ como $E\rightarrow0$ y del mismo modo se acerca a $e^{i\pi/2}$ como $E\rightarrow V_0$ desde la izquierda. Es decir, la función de onda se retrasa/avanza como máximo 1/4 de longitud de onda.

Para un pulso real la situación es un poco más complicada porque hay que distinguir entre un desplazamiento de la fase global, que es irrelevante, y un $k$ -fase dependiente que desplazará el pulso. Por lo tanto, es la derivada $\partial \varphi/$ que importa (donde $A_\textrm{tunnel}=|A_\textrm{tunnel}|e^{i\varphi}$ ). Dado que $\varphi$ es más o menos una línea recta desde $E=0$ , $\varphi=\pi/2$ a $E=V_0$ , $\varphi=-\pi/2$ El resultado es que el pulso final, tunelizado, se desplaza hacia la izquierda en el espacio en aproximadamente $$\Delta x=\frac{\partial \varphi}{\partial k}(k_0)=-\frac{\pi\hbar}{V_0}\frac{\hbar k_0}{m}$$ y esto corresponde a un retraso en el tiempo de $h/2V_0$ . (Obsérvese que el extraño escalamiento en "baja" $V_0$ se compensa con la exigencia de que $\kappa l\leq \sqrt{V_0}l$ ser grande en unidades naturales, por lo que el límite no tiene mucho sentido).

Answer 2

Para un paquete de ondas, debería ser la anchura de la barrera dividida por la velocidad de grupo del paquete, creo.