¿Similaridad de dos tranformas discretas de Fourier?

Question

En la modelización del clima, se busca un modelo que pueda representar adecuadamente el clima de la Tierra. Esto incluye mostrar patrones que son semicíclicos: cosas como la Oscilación del Sur de El Niño. Pero la verificación de los modelos se realiza generalmente en periodos de tiempo relativamente cortos, en los que hay datos observacionales decentes (últimos ~150 años). Esto significa que su modelo podría mostrar los patrones correctos, pero estar fuera de fase, de manera que las comparaciones lineales, como la correlación, no detectarán que el modelo está funcionando bien

Las transformadas discretas de Fourier se utilizan habitualmente para analizar datos climáticos ( aquí hay un ejemplo ), con el fin de recoger estos patrones cíclicos. ¿Existe alguna medida estándar de la similitud de dos DFT que pueda utilizarse como herramienta de verificación (es decir, una comparación entre la DFT del modelo y la de las observaciones)?

¿Tendría sentido tomar la integral del mínimo de las dos DFT normalizadas por área (utilizando valores reales absolutos)? Creo que esto daría como resultado una puntuación $x\in[0,1]$ , donde $x=1\implies$ exactamente los mismos patrones, y $x=0\implies$ patrones totalmente diferentes. ¿Cuáles podrían ser los inconvenientes de este método?

Answer 1

La coherencia espectral, si se utiliza correctamente, lo haría. La coherencia se calcula en cada frecuencia y, por tanto, es un vector. Por lo tanto, la suma de una coherencia ponderada sería una buena medida. Lo normal es ponderar las coherencias en las frecuencias que tienen una alta energía en la densidad espectral de potencia. De este modo, se medirían las similitudes en las frecuencias que dominan la serie temporal en lugar de ponderar la coherencia con un gran peso, cuando el contenido de esa frecuencia en la serie temporal es insignificante.

Así que, en palabras sencillas, la idea básica es encontrar las frecuencias en las que la amplitud (energía) de las señales es alta (interpretadas como las frecuencias que constituyen dominantemente cada señal) y luego comparar las similitudes en estas frecuencias con un peso mayor y comparar las señales en el resto de las frecuencias con un peso menor.

El área que se ocupa de este tipo de cuestiones se denomina análisis espectral cruzado. http://www.atmos.washington.edu/~dennis/552_Notes_6c.pdf es una excelente introducción al análisis espectral cruzado.

Retraso óptimo: Mira también mi respuesta aquí: Cómo correlacionar dos series temporales, con posibles diferencias temporales

Se trata de encontrar el desfase óptimo, utilizando la coherencia espectral. R tiene funciones para calcular las densidades espectrales de potencia, las correlaciones automáticas y cruzadas, las transformadas de Fourier y la coherencia. Tienes que codificar correctamente para encontrar el lag óptimo para obtener la máxima coherencia ponderada. Dicho esto, también hay que escribir un código para ponderar el vector de coherencia utilizando la densidad espectral. A continuación, se pueden sumar los elementos ponderados y promediarlos para obtener la similitud observada en el lag óptimo.

Answer 2

Tenía en mente el ejemplo de un esquema regular separado, localmente noetheriano, irreducible de dimensión 1 que no es cuasi-compacto, espero que sea correcto: dejemos $X$ sea un esquema integral separado (localmente) noetheriano de dimensión $\ge 1$ tal que el conjunto $F$ de los puntos de codimensión 1 en $X$ es infinito ( $X$ podría ser la línea afín sobre un campo). Sea $\xi$ sea el punto genérico de $X$ y $K(X)=O_{X,\xi}$ . Construimos un nuevo esquema $X'$ pegando todos los $U_x:={\mathrm Spec} (O_{X,x})$ , $x\in F$ , junto con $\xi$ . Entonces $X'$ es localmente noetheriano regular de dimensión $1$ (porque $U_x$ es el espectro de un DVR), irreducible porque $\xi$ es el único punto genérico, y separado porque el mapa canónico $O_{X,x}\otimes O_{X, y}\to K(X)$ es proyectiva si $x\ne y \in F$ . Pero $X'$ no es cuasi-compacto porque la cobertura { $U_x$ } $_{x\in F}$ no puede ser refinada por una cobertura finita.

Answer 3

He votado a favor y apoyo el uso del análisis basado en wavelets y espectrogramas como alternativa al dft. Si puedes descomponer tus series en bines de tiempo-frecuencia localizados, se reducen los problemas de fourier de aperiodicidad y no estacionariedad, además de proporcionar un bonito perfil de datos discretizados para comparar.

Una vez que los datos se mapean en un conjunto tridimensional de energía espectral frente al tiempo y la frecuencia, se puede utilizar la distancia euclidiana para comparar los perfiles. Una coincidencia perfecta se acercaría a la distancia de límite inferior de cero.* Se pueden buscar enfoques similares en las áreas de minería de datos de series temporales y de reconocimiento del habla.

*Si no hay pérdida en los datos comparados, podría ser más adecuado comparar utilizando la distancia euclidiana en el dominio del tiempo.