apoyo de una forma diferenciada en el colector de

Question

En el libro "formas Diferenciales en Topología Algebraica" por Bott y Tu, con el apoyo de una forma diferenciada $\omega$ en un colector $M$ se define como "el menor conjunto cerrado $Z$, de modo que $\omega$ restringido a $Z$ no $0$." (página 24).

Estoy un poco confundido, supongamos que vamos a $M = \mathbb{R}$ con el trivial atlas $\{ \mathbb{R}, \text{Id} \}$ y considerar la $0-$formulario $\omega = x$. Luego que no - cero punto constituiría un conjunto en el que la restricción de $\omega$ es distinto de cero. Pero espero que los autores quieren que el apoyo para el menor conjunto cerrado que contiene a todos los puntos en los que $\omega$ es distinto de cero. Dónde está mi malentendido ? Muchas gracias por la ayuda!

Answer 1

Su expectativa es la definición correcta: el soporte de una forma diferenciada $\omega \in \Omega^k(M)$ es el conjunto $$\mathrm{supp}(\omega) = \overline{\{p \in M : \omega_p \not\equiv 0\}}.$$

Miré en mi copia de Bott y Tu y de hecho se define de forma incorrecta. Quizás una mejor manera la frase de su frase sería "el apoyo de $\omega$ es el menor conjunto cerrado $Z$, de modo que $\omega$ restringido a cualquier punto en el interior de $Z$ no es idéntica $0$" o, como Miqueas sugiere en los comentarios, "el apoyo de $\omega$ es el menor conjunto cerrado $Z$ tal que $\omega$ restringido a $M \setminus Z$ es idéntica $0$."