demostrando que $2^{m-1}$ tiene recordatorio $1$ cuando se divide por $m$

Question

Dejemos que $$m = \frac{4^p - 1}{3}$$

Dónde $p$ es un número primo superior a $3$ . cómo demostrar que $2^{m-1}$ tiene recordatorio $1$ cuando se divide por $m$

Answer 1

$2^{2p}=4^p=3m+1\equiv 1 \pmod m$ por lo que el resultado se deduce si $2p\mid m-1$ .

Desde $m$ es impar $2\mid m-1$ y por el Pequeño Teorema de Fermat $p\mid 4^p-4=3(m-1)$ . Desde $p>3$ es primo debemos tener $p\mid m-1$ .