Tengo la siguiente suma finita: $s_{n}=\sum\limits_{k=0}^{n}\binom{n}{k}^2p^k$ (esp. si $p$ es una función de $n$, como $p=\frac1{n}$), que puede escribirse como $s_{n}=\sum\limits_{k=0}^{n}\binom{n}{k}\sqrt p^k\binom{n}{k}\sqrt p^k$. El uso de la generación de la función de enfoque (desde Graham, Knuth y Patashnik) con cada uno de los polinomios en la suma, obtener la expresión de la $(1+\sqrt p x)^{2n}$ y el coeficiente de en el n-ésimo término de $x$ resulta ser $\binom{2n}{n} \sqrt p^n$. Pero la comparación de este resultado para el cómputo de valor, resulta ser incorrecta. ¿De dónde me equivoco? Existen ciertas limitaciones en la generación de la función de método?
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Creo que usted está utilizando la convolución de la fórmula equivocada. La convolución de la fórmula dice que si $F(x)$ $G(x)$ son las funciones de generación de $f_n$$g_n$, $F(x) G(x)$ es la generación de la función de $\sum_{k=0}^n f_k g_{n-k}$. Usted parece estar tomando $f_k = g_k = \binom{n}{k} \sqrt{p}^k$. A continuación, la expresión $(1 + \sqrt{p}x)^{2n}$ es la generación de la función de la convolución $$\sum_{k=0}^n \binom{n}{k} \sqrt{p}^k \binom{n}{n-k} \sqrt{p}^{n-k} = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k}^2 \sqrt{p}^n,$$ que no es la suma que usted desea.
En su lugar, deje $f_k = \binom{n}{k} p^k$$g_k = \binom{n}{k}$. Ahora la convolución es la suma que usted desea: $$\sum_{k=0}^n \binom{n}{k} p^k \binom{n}{n-k} = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k}^2 p^k.$$ The generating function for $f_k$ is $(1+px)^n$, and the generating function for $g_k$ is $(1 + x)^n$, so your answer is the coefficient of $x^n$ in $(1+px)^n (1+x)^n$. Sin embargo, no estoy seguro de lo que una forma cerrada para la que sería.
Su suma puede ser expresada en términos de polinomios de Legendre $P_n(x)$, sin embargo. El uso de la conocida fórmula (ver eq. 33 en la página enlazada) $$P_n(x) = \frac{1}{2^n} \sum_{k=0}^n \binom{n}{k}^2 (x-1)^{n-k} (x+1)^k.$$ Si dejamos $x = \frac{1+p}{1-p}$, tenemos $$P_n\left(\frac{1+p}{1-p}\right) = \frac{1}{2^n} \sum_{k=0}^n \binom{n}{k}^2 \left(\frac{1+p}{1-p}-1\right)^{n-k} \left(\frac{1+p}{1-p}+1\right)^k $$ $$= \frac{1}{2^n} \sum_{k=0}^n \binom{n}{k}^2 \left(\frac{2p}{1-p}\right)^{n-k} \left(\frac{2}{1-p}\right)^k = \frac{1}{(1-p)^n} \sum_{k=0}^n \binom{n}{k}^2 p^{n-k}$$ $$ = \frac{1}{(1-p)^n} \sum_{k=0}^n \binom{n}{k}^2 p^k.$$
Por lo tanto $$\sum_{k=0}^n \binom{n}{k}^2 p^k = (1-p)^n P_n\left(\frac{1+p}{1-p}\right).$$
Descargo de responsabilidad: El polinomio de Legendre de expresión fue la salida de Mathematica cuando le pregunté a evaluar la suma. Yo no estaba dispuesto a poner mi confianza en ti hasta que he demostrado a mí mismo, sin embargo. :)
Añadido: La suma en cuestión es el Problema 5.101 b en Graham, Knuth, y Patashnik del Hormigón Matemáticas (2ª edición). En las respuestas que dan el polinomio de Legendre de expresión puedo demostrar aquí y la relación de recurrencia (donde $S_n(p)$ es el OP de la suma)
$$(n+1)(p-1)^2 S_n(p) - (2n+3)(p+1)S_{n+1}(p) + (n+2)S_{n+2}(p) = 0.$$
No proporcionan una forma cerrada de la expresión de otros que el polinomio de Legendre de la formulación. Dado lo exhaustivo de las respuestas en Concreto las Matemáticas son generalmente, el que me hace dudar fuertemente que se conoce de uno o serían fáciles de encontrar.
Andrew
Puntos
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No tengo Mathematica conmigo, así que vamos a ver si puedo llegar a Mike responder sólo por la explotación de los hipergeométrica identidades...
Comenzando con
$$s_n=\sum_{k=0}^n \binom{n}{k}^2p^k$$
el binomio habitual-a-Pochhammer la conversión es fácil de aplicar, que conduce a la
$$s_n=\sum_{k=0}^n \frac{((-n)_k)^2}{(k!)^2} p^k$$
a partir de la cual podemos obtener fácilmente el hipergeométrica formulario
$$s_n={}_2 F_1\left({{-n}\atop{}}{{}\atop{1}}{{-n}\atop{}}\mid p\right)$$
Bueno, yo escucho a algunos gemidos que la función hipergeométrica de Gauss no es mucho de una forma cerrada, y estoy de acuerdo. Así que vamos a ver si podemos convertirlo en algo más reconocible.
El problema aquí es que los "buenos" de los casos de hipergeométrica de Gauss funciones con valor no positivo numerador parámetros de tener sólo uno de los dos numerador parámetros de valor no positivo; para que se convierta en esa clase, tratamos la Pfaff transformación:
$$s_n=(1-p)^n {}_2 F_1\left({{-n}\atop{}}{{}\atop{1}}{{n+1}\atop{}}\mid \frac{p}{p-1}\right)$$
y ahora se ve como algo familiar:
$$P_n(1-2z)={}_2 F_1\left({{-n}\atop{}}{{}\atop{1}}{{n+1}\atop{}}\mid z\right)$$
donde $P_n(z)$ es el polinomio de Legendre. (Una forma de establecer esta identidad es tener en cuenta que el segundo orden de la ecuación diferencial para la función hipergeométrica de Gauss puede ser convertido en la ecuación diferencial para funciones de Legendre cuando el sustituciones de hecho.) Con que, por fin tenemos
$$s_n=(1-p)^n P_n\left(1-2\frac{p}{p-1}\right)=(1-p)^n P_n\left(\frac{1+p}{1-p}\right)$$
y hemos terminado.
