El número de ordenadas soluciones, viene a ser 800. Necesito encontrar el número de soluciones distintas, pero estoy atascado en el cálculo de las combinaciones posibles.
Alguna idea sobre cómo proceder en el futuro?
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
Los factores primos de a $600$, expresado como un conjunto múltiple, se $\{2,2,2,3,5,5\}$. Para obtener la respuesta original de $800$ ordenado tuplas, dividimos cada uno de los distintos prime a través de $(a,b,c,d)$ con estrellas y barras para obtener: $${6 \choose 3}{4 \choose 3}{5\choose 3} = 20\cdot 4\cdot 10 = 800$$
Claramente nunca podremos tener todos los cuatro factores de la misma. Podemos tener tres factores de la misma sólo en $2$ distintos casos, $(1,1,1,600)$$(2,2,2,75)$, que corresponden a $8$ opciones en el $800$.
Dos factores de la misma, $(a,a,X,Y)$, puede tener $a \in \{1,2,5,10\}$. Para $a=1$ en la posición dada, hay ${4 \choose 1}{2 \choose 1}{3\choose 1}=24$ opciones, y de manera similar a $a=(2,5,10)$ ha $(12,8,4)$ opciones. Para $a=(1,2)$ también necesitamos reducir los valores de $2$ a eliminar la superposición de las tres igual de factor de caso. El total de $44$ opciones corresponden a $44\cdot {4 \choose 2} = 264$ de los casos en el$800$, pero sólo $22$ en los distintos casos.
El resto de los casos, $800-264-8 = 528$, tiene cuatro valores distintos y son un múltiplo de $4!$ de los distintos casos, dando a $528/24 = 22$ más distintos casos, para un total de: $$ 2+22+22 = 46 \text{ distinct cases}$$
almagest
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1994
Sólo tienes que ser sistemático. Queremos $a\le b\le c\le d$. Tenemos $5^4=625$, lo $a\le4$. Si $a=4$,$bcd=150$. Tenemos $6^3=216$, lo $b<6$. Por lo tanto $b=5$. Por lo $cd=30$ y, por tanto,$c=5,d=6$.
Si $a=3$,$bcd=200$, lo $b=4$ o 5. Si $b=4$,$cd=50$, lo $c=5,d=10$. Si $b=5$,$cd=40$, lo $c=5,d=8$.
Si $a=2$,$bcd=300$, lo $b<7$. Si $b=2$,$cd=150$, lo $c=2,3,5,6,10$. Si $b=3$,$cd=100$, lo $c,d=(4,25),(5,20),(10,10)$. Si $b=4$,$cd=75$, lo $c=5,d=15$. Si $b=5$,$cd=60$, lo $c,d=(5,12),(6,10)$. Si $b=6$,$cd=50$, que no dan ninguna solución.
Si $a=1$,$bcd=600$, lo $b\le8$. Si $b=1$,$cd=600$, de modo que podemos tener $c=1,2,3,4,5,6,8,10,12,15,20,24$. Si $b=2$,$cd=300$, de modo que podemos tener $c=2,3,4,5,6,10,12,15$. Si $b=3$,$cd=200$, de modo que podemos tener $c=4,5,8,10$. Si $b=4$,$cd=150$, de modo que podemos tener $c=5,6,10$. Si $b=5$,$cd=120$, de modo que podemos tener $c=5,6,8,10$. Si $b=6$,$cd=100$, de modo que podemos tener $c=d=10$. Si $b=8$,$cd=75$, que no tiene soluciones.
Resumen: $(a,b,c,d)=$(4,5,5,6),(3,4,5,10),(3,5,5,8),(2,2,2,75),(2,2,3,50),(2,2,5,30),(2,2,6,25),(2,2,10,15),(2,3,4,25),(2,3,5,20),(2,3,10,10),(2,4,5,15),(2,5,5,12),(2,5,6,10),(1,1,1,600),(1,1,2,300),(1,1,3,200),(1,1,4,150),(1,1,5,120),(1,1,6,100),(1,1,8,75),(1,1,10,60),(1,1,12,50),(1,1,15,40),(1,1,20,30),(1,1,24,25),(1,2,2,150),(1,2,3,100),(1,2,4,75),(1,2,5,60),(1,2,6,50),(1,2,10,30),(1,2,12,25),(1,2,15,20),(1,3,4,50),(1,3,5,40),(1,3,8,25),(1,3,10,20),(1,4,5,30),(1,4,6,25),(1,4,10,15),(1,5,5,24),(1,5,6,20),(1,5,8,15),(1,5,10,12),(1,6,10,10). Un Total de 46 soluciones.
