Si ${ x }^{ 4 }+{ y }^{ 2 }=1$ entonces $x$ y $y$ pueden ser ambos números racionales?

Question

¿Puede dar dos números $x,y\in\mathbb{Q}$ tal que ${ x }^{ 4 }+{ y }^{ 2 }=1$ ?

No sé si existe o no. Derivé esta ecuación cuestionando que si $\sin { \alpha } ={ x }^{ 2 }$ para $x\in \mathbb{Q}$ entonces para que $\alpha$ , $\cos{ \alpha }=y$ y $y\in \mathbb{Q}$ ?

Editar: $x,y\neq0$

Answer 1

Considere $\dfrac{p}{q}=x$ y $y=\dfrac{m}{n}$ , de tal manera que $\gcd (p,q)=(m,n)=1$ y $n \neq 1$ , $q \neq 1$

$(\dfrac{p}{q})^4=1-(\dfrac{m}{n})^2=(1-\dfrac{m}{n})(1+\dfrac{m}{n})$

$=(\dfrac{n-m}{n})(\dfrac{n+m}{n})=\dfrac{(n-m)(n+m)}{n^2}$ Aquí $n^2 \nmid (n-m)(n+m)$ desde $q \neq 1$ .

Dejemos que $d$ sea un divisor de $n$ , tenga en cuenta que $d \nmid(n+m)$ y $d \nmid (n-m)$ , Utilizando el hecho: $\gcd(m,n)=1$

Ahora bien, esto implica $(n-m)(n+m)=p^4, n^2 =q^4$ (Recordando El área de un triángulo rectángulo no puede ser un cuadrado no existe como lo demostró Fermat)

Answer 2

Denote $x=\dfrac{b}{a},y=\dfrac{d}{c},a,b,c,d>0,$ entonces $(\dfrac{b}{a})^4-(\dfrac{d}{c})^2=1,$ por lo que $a^4=c^2,c=a^2,b^4-d^2=a^4,$ esta ecuación no tiene una solución entera positiva, véase Resolver $x^4-y^4=z^2$