Los autovalores de la Matriz vs Autovalores del Operador

Question

Estoy teniendo algunos problemas para conciliar el concepto de autovalores de los operadores con los autovalores de las matrices: supongamos que tiene un $n\times n$ matriz $A$. Representa un operador lineal $T:V\to V$ con respecto a alguna base $\{e_i\}$ en el fondo. Ahora mi entendimiento es que

1.) Cualquiera que sea la base es, no tiene ningún efecto en los valores propios de a $A$. I. e. soluciones a $\text{det}(A-\lambda I)=0$ da las mismas soluciones, independientemente de si nos han $\{e_i\}$ o $\{e_i'\}$ como la base en el fondo, siempre y cuando se mantenga la entradas de $A$ el mismo en ambos casos.

2.) Los autovalores de a $A$ son los mismos que los autovalores de a $T$ siempre y cuando el uso de la base de $\{e_i\}$ que $A$ es $T$.

Sin embargo, si queremos mantener las entradas de $A$ de la misma, y cambiar la base en el fondo, a continuación, $A$ representa un operador lineal $T'$. Esto parece contradictorio ya que \begin{align} \{\text{eigenvalues of} \ T\}&=\{\text{eigenvalues of} \ A \ \text{with respect to basis} \{e_i\}\} \ \ \text{by 2}\\ &=\{\text{eigenvalues of} \ A \ \text{with respect to basis} \{e_i'\}\} \ \ \text{by 1} \\ &=\{\text{eigenvalues of} \ T'\} \ \ \text{by 2} \end{align}

Pero no hay ninguna razón los dos operadores de $T$ $T'$ deben tener los mismos valores propios. Alguien puede señalar lo que está mal aquí? Cualquier ayuda se agradece.

Answer 1

Si al azar dar dos operadores lineales $T$$T'$$V$, entonces, por supuesto, no hay ninguna razón en todo lo que debe tener los mismos valores propios. Sin embargo, su $T$ $T'$ no están elegidos al azar. Primero das $T$ y definen $A$ de su matriz respecto a alguna base $\alpha$. A continuación, elige a otra base $\beta$ $V$ y definen $T'$ de tal manera que su representación de la matriz con respecto a $\beta$ es $$ [T']_\beta=A. $$ En consecuencia, su $T$ $T'$ están relacionados unos con otros de tal manera que $$ [T]_\alpha=[T']_\beta. $$

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Como consecuencia de los siguientes ejercicios, su $T$ $T'$ tienen los mismos autovalores.

Ejercicio: Demostrar que $T$ $[T]_\alpha$ tienen exactamente el mismo autovalores para cualquier base $\alpha$$V$.

Answer 2

Dos matrices $A,B \in M_n(\mathbb{F})$ son llamados semejantes si existe una matriz invertible $P$ tal que $P^{-1}AP = B$. Dos lineal mapas de $T,S \colon V \rightarrow V$ en un número finito de dimensiones de espacio vectorial se llaman semejantes si existe una transformación lineal invertible $R$ (que es la misma cosa como un isomorfismo) tal que $R^{-1} \circ T \circ R = S$. Considere las siguientes declaraciones:

1. Los mapas de $T,S$ son semejantes si y sólo si las matrices $[T]_{\mathcal{B}},[S]_{\mathcal{B}}$ que representan los mapas con respecto a un arbitrario ordenó base $\mathcal{B}$ $V$ son similares.
2. Dos matrices $A,B \in M_n(\mathbb{F})$ son semejantes si y sólo si para cualquier $n$ dimensiones de espacio vectorial $V$, la elección de la solicitan $\mathcal{B}_1$ $V$ y cualquier operador $T \colon V \rightarrow V$ tal que $[T]_{\mathcal{B}_1} = A$ usted puede encontrar una base $\mathcal{B}_2$ tal que $[T]_{\mathcal{B}_2} = B$. Por lo tanto, similar matrices de definir la misma lineal de operadores para una elección de la base.
3. Dos lineal mapas de $T,S \colon V \rightarrow V$ son semejantes si y sólo si puede ser representada por la misma matriz con respecto a dos de las diferentes ordenó bases de $V$.

Usted puede comprobar directamente que similar lineal mapas tienen los mismos autovalores y esto también implica que similar matrices tienen los mismos valores propios (como los autovalores de una matriz $A$ son precisamente los valores propios de la lineal mapa de $T_A \colon \mathbb{F}^n \rightarrow \mathbb{F}^n$ asociado a $A$). En su caso, los mapas de $T$ $T'$ son similares y por lo tanto tienen los mismos autovalores.

Answer 3

¿Por qué no hay dos operadores lineales con el mismo autovalores?

Considere la posibilidad de un espacio vectorial $V$ de la dimensión 2, con operadores lineales $T$, $T'$ tal que $T(e_1) = e_1, T(e_2) = 2e_2$ $T'(e_1) = 2e_1, T'(e_2) = e_2 $ para una base de $V$, $\{e_1, e_2\}$.

Usted puede comprobar si estos son operadores lineales con bastante facilidad.