Deje $E_1$ $E_2$ ser curvas elípticas sobre $\mathbb{Q}$ con el bien, ordinaria en una extraña prime $p$. Me pregunto cómo determinar si $E_1[p]$ $E_2[p]$ son isomorfos $\mathbb{F}_p[G_\mathbb{Q}]$-módulos.
Es mi entendimiento de que me puede verificar esto buscando una congruencia mod $p$ entre los asociados las formas modulares, pero no estoy exactamente seguro de lo que constituye una congruencia. Supongo que eso quiere decir que casi todos los números de $a_\ell$ para las dos curvas (para $\ell\neq p$ un alojamiento de buena reducción tanto $E_1$$E_2$) son congruentes mod $p$. Pero esto me confunde por la siguiente razón. Estos $a_\ell$ son las huellas de Frobenii en el $p$-ádico Tate módulo, y supongo que la razón de que esta idea debe trabajar es que si son (casi) todos congruentes mod $p$, $\mathbb{F}_p$- representaciones debe ser isomorfo por consideraciones con Chebotarev densidad (suponiendo que estas representaciones son semisimple, un hecho que creo que\esperanza es cierto, pero para la que no tengo ninguna referencia).
Si esto es de hecho lo que se entiende por congruencia, entonces ¿cómo podría comprobar en la práctica? Puedo ver mis curvas en Cremona tablas y ver como muchos de los coeficientes de la $q$-las expansiones de las formas modulares como quiero, pero ¿cuántos tengo que mirar antes de concluir que la congruencia se mantiene?
Descargo de responsabilidad: yo soy muy nuevo cómputo cosas, así que si he dicho algo ingenuo o borderline ridículo, me disculpo. Estoy más acostumbrado a trabajar especie de...en teoría.
