El álgebra lineal es relevante para casi todas las ramas de las matemáticas. Creo que tendrá más sentido cuando veas ejemplos de que es relevante para cada rama de las matemáticas.
He aquí un ejemplo que muestra por qué los duales y los funcionales lineales son importantes en geometría. Supongamos que investigamos una curva $f(x, y) = 0$ en $\mathbb{R}^2$ (digamos) y en $(0, 0)$ tiene la forma $ax + by + \text{higher order terms}$ . Cuando realizamos esta operación de "ignorar los términos de orden superior" lo que obtenemos es un espacio vectorial abarcado por $x$ y $y$ llamado el espacio cotangente . El doble de este espacio es el espacio tangente. ¿Por qué? Debemos pensar que las tangentes definen "vectores infinitesimales" que apuntan desde un punto, y entonces elementos de la forma $cx + dy$ en el espacio cotangente definen funcionales lineales que actúan sobre esas tangentes. El elemento distinguido $ax + by$ del espacio cotangente es entonces ortogonal a la línea tangente.
Vale, eso ha sido demasiado específico. Permítanme hablar desde los primeros principios. Lo primero que siempre quieres hacer cuando tienes un montón de objetos es especificar cuáles son los morfismos entre ellos para tener una categoría. En el caso de los espacios vectoriales, los morfismos son transformaciones lineales, lo cual es bastante obvio. Ahora bien, resulta que incluso si no estás dispuesto a utilizar una base, puedes describir las transformaciones lineales con "coordenadas" en un cierto sentido. La forma de hacerlo es con el producto tensorial y el espacio dual: resulta que $\text{Hom}(A, B)$ (el espacio vectorial de todas las transformaciones lineales de $A$ a $B$ ) es naturalmente isomorfo a $A^{\ast} \otimes B$ (en el sentido de que no hay que elegir una base para exhibir el isomorfismo). Así que si quieres entender las transformaciones lineales, basta con entender el espacio dual y el producto tensorial.
La relación es tal vez más fácil de ver si se eligen las bases $e_i, f_j$ de $A, B$ primero: normalmente se presenta una transformación lineal $T$ como un conjunto de coeficientes $T_{ij}$ describiendo lo que es el coeficiente de $f_j$ en $T(e_i)$ es. Ahora, la base $e_i$ determina lo que se llama una base dual $e_i^{\ast}$ en $A^{\ast}$ definido por $e_i^{\ast} e_j = \delta_{ij}$ . Afirmo que los coeficientes $T_{ij}$ dan una descomposición única $T = T_{ij} e_i^{\ast} \otimes f_j$ en $A^{\ast} \otimes B$ . El término $e_i^{\ast} \otimes f_j$ es el único operador lineal que envía $e_i$ a $f_j$ y es cero en el resto de la base.
El isomorfismo que acabo de dar no depende de una elección de base y ahora se pueden definir cosas bonitas como el rango (el número mínimo de elementos en una descomposición de $T$ en tensores puros) o la traza (el resultado de enviar $e_i^{\ast} \otimes e_i$ a $1$ para un operador lineal $T : A \to A$ ) de forma totalmente libre de bases.
Una consecuencia de todo lo que acabo de decir es que se extiende a los módulos sobre un anillo, que es una situación mucho más general. De todos modos, tal vez todavía no estoy hablando en la dirección correcta para usted. ¿Podrías ser más específico sobre el tipo de respuesta que estás buscando?
