¿Cómo encontrar los vértices de una determinada elipse con regla y compás?

Question

Para dar una solución alternativa a un problema conocido $^{(*)}$ Me gustaría resolver el siguiente subproblema de la manera más eficaz (es decir, en el menor número de pasos).

$A,B,C,T$ son cuatro puntos distintos en el plano tales que $TA=TB$ y $T,C$ se encuentran en lados opuestos de la $AB$ -línea. Encuentra con regla y compás los vértices de la elipse por $A,B,C$ tal que $TA,TB$ son las tangentes a la elipse en $A,B$ .

Explotando las propiedades proyectivas habituales de una cónica no es difícil trazar la tangente en $C$ en unos pocos pasos. Pero, ¿cuál es la forma más eficaz de encontrar los vértices de una elipse, dadas tres tangentes?

$^{(*)}$ El mencionado problema conocido es el siguiente: $U,V,W$ son tres puntos distintos dentro de un círculo $\Gamma$ . Encuentra un triángulo $ABC$ , inscrita en $\Gamma$ , de tal manera que $U\in BC,V\in AC,W\in AB$ . Esto se suele resolver mediante el teorema de Pascal.

Answer 1

Mi solución, por ahora:

1. Tomamos la línea $l$ a través de $BT\cap AC,AT\cap BC$ , $D=l\cap AB$ entonces $DC$ es tangente a la elipse en $C$ ;
2. Dejemos que $E=AT\cap DC$ y $\Gamma$ sea el círculo tangente a $AT,BT$ en $A,B$ ;
3. Dejemos que $F=CT\cap\Gamma$ (una de las dos intersecciones);
4. Dejemos que $G$ sea la intersección entre $AT$ y la tangente a $\Gamma$ en $F$ ;
5. Dejemos que $H$ sea una intersección entre $\Gamma$ y la bisectriz del ángulo interno de $\widehat{ATB}$ ;
6. Dejemos que $I$ sea la intersección entre $AT$ y la perpendicular a $TH$ a través de $H$ ;
7. Dejemos que $J$ sea la intersección entre $DG$ y el paralelo a $IH$ a través de $E$ ;
8. Dejemos que $K$ sea $TJ\cap DI$ ;
9. Entonces el paralelo a $IH$ a través de $K$ se encuentran con la bisectriz del ángulo de $\widehat{ATB}$ en un vértice de la elipse;
10. Con tres líneas adicionales podemos encontrar el vértice opuesto;
11. Tenemos un eje de la elipse, por lo tanto podemos explotar el hecho de que una elipse es la imagen de un círculo bajo una dilatación, encontrar la relación de dilatación a través de la posición de $A$ y luego los otros dos vértices.

Esta es una solución con $\color{red}{2}$ círculos ausiliares y $\color{red}{22}$ líneas ausiliares, un poco demasiado, apuesto a que puedes hacerlo mejor. Traducir una solución algebraica en términos de una construcción de regla y compás puede proporcionar una gran mejora, probablemente. Aquí acabo de explotar el hecho de que hay un mapa proyectivo, teniendo $AT$ y $BT$ como líneas fijas, que envía $\Gamma$ en nuestra elipse, luego consideramos las líneas polares y aplicamos el Teorema de Desargue .

Answer 2

La línea que atraviesa $T$ y el punto medio de $\overline{AB}$ pasa por el centro de la elipse. (De hecho, es uno de los ejes, lo que será importante más adelante.) Además, si las tangentes en $B$ y $C$ reunirse en, digamos, $U$ , entonces la línea que pasa por $U$ y el punto medio de $\overline{BC}$ también pasa por el centro. Con dos líneas que señalan su ubicación, podemos tomar el centro de la elipse como conocido.

Por consiguiente, podemos empezar nuestra investigación a partir de aquí (con considerables cambios de notación):

Punto determinado $P$ en una elipse con centro $O$ y un punto $X$ en uno de los ejes de la elipse (extendida) tal que $\overleftrightarrow{PX}$ es tangente a la elipse, ¿cómo construimos los puntos extremos del eje dado?

Si nuestra elipse fuera un círculo de radio $r$ Entonces sabríamos que $$|\overline{OM}|\;|\overline{OX}| = r^2$$ Dado que una elipse es un círculo deformado por la escala en las direcciones de sus ejes, y dado que $\overleftrightarrow{OX}$ es se supone que para ser la dirección de un eje (I dijo a que sería importante), la relación se conserva en esta forma: $$|\overline{OM}|\;|\overline{OX}| = a^2$$ donde $a$ es el "radio" de ese eje.

Esto dice exactamente que $a$ es la media geométrica de $|\overline{OM}|$ y $|\overline{OX}|$ , lo que la convierte en una longitud fácilmente construible. Simplemente construimos un semicírculo con diámetro $\overline{OX}$ el punto $A$ en la que la perpendicular a $M$ se encuentra con el semicírculo es tal que $\overline{OA}$ es un cateto de un triángulo rectángulo con hipotenusa $\overline{OX}$ además, gracias a los triángulos similares $\triangle AOM$ y $\triangle XOA$ tenemos que $|\overline{OA}|$ es la media geométrica que buscamos. Por lo tanto, el círculo sobre $O$ a través de $A$ tiene un radio $a$ y donde este círculo se encuentra $\overleftrightarrow{OX}$ son los puntos finales de los ejes correspondientes de la elipse. $\square$

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Así, una vez que se tiene el centro de la elipse, la construcción implica tres pasos:

• Construir el punto medio de $\overline{OX}$ (no se muestra).
• Construir el semicírculo alrededor de ese punto medio, a través de $O$ y $X$ .
• Construir el círculo alrededor de $O$ , a través de la intersección $A$ del semicírculo y $\overleftrightarrow{PM}$ .

Los puntos finales del otro eje se pueden determinar de la misma manera, basándose en el punto $Y$ donde la tangente en $P$ se encuentra con la perpendicular a través de $O$ :

Tenga en cuenta que esta construcción no es en absoluto útil para determinar los "diámetros" de los no ejes.