¿Hay alguna prueba visual para $\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2} = \frac{\pi^2}{6}$ ?

Question

Estaba hojeando Pruebas sin palabras (PWW) y vio muchas pruebas visuales de secuencias y series. Sin embargo, no vi ninguna para $$\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2} = \frac{\pi^2}{6}$$

¿Hay alguna pruebas visuales para la serie anterior?

Answer 1

En su papel extraordinario Mikael Passare presenta la siguiente idea visual:

Aún más sorprendente que la imagen anterior son las técnicas utilizadas para la prueba. Implican sólo matemáticas básicas, esencialmente trigonometría y transformaciones más visuales de áreas curvas (¡a veces infinitas!) y rectas, como ésta:

Aquí las seis regiones tienen la misma superficie, comprueba los detalles en el papel.

Answer 2

Grant Sanderson acaba de publicar un vídeo en su canal 3Azul1Marrón en el que presenta una forma muy accesible de visualizar el problema y su solución. Enlace al vídeo:

https://youtu.be/d-o3eB9sfls

Answer 3

Si sabes lo que son las series de Fourier, creo que puedes empezar este problema viéndolo como una serie de Fourier, lo que permitirá una demostración más rigurosa desde el punto de vista matemático para mostrar el Problema de Basilea que fue resuelto por Euler. Si no, hay otra forma más elemental de hacerlo también en este enlace:

http://en.wikipedia.org/wiki/Basel_problem

Recorre la prueba de numerosas formas, pero la serie de Fourier y otra forma son las pruebas más rigurosas desde el punto de vista matemático (secciones 3 y 4).