El factor determinante es la integral de álgebra. La integral es el determinante de análisis

Question

Esta es, probablemente, un paralelismo obvio que la mayoría de las personas son conscientes, pero sólo me di cuenta el otro día y se me hizo muy emocionado. El factor determinante en el álgebra tiene mucho en común con la integral en el análisis. Por ejemplo:

1. Que se aplican a las funciones, la integral para funciones integrables, el factor determinante para transformaciones lineales $T:V \rightarrow V$.
2. Ambos son "suma de productos".
3. Ambos pueden ser utilizados para dar un resultado escalar. (No siempre, por supuesto, pero esta es la forma en que se desarrollan por primera vez.)
4. Ambos son importantes las estructuras principales en el álgebra y el análisis.
5. Ambos están definidos en formas que sentimos que 'hacia atrás'-- la definición formal no siempre es útil para el cálculo de ellos, entonces ellos vienen a representar varios conceptos importantes que actúa como un punto de apoyo en sus campos. (es decir. La ZONA está conectado a la ANTI-DERIVADOS... o que las SOLUCIONES A AX=B están conectados a TRANSFORMACIONES LINEALES.)
6. Ambos pueden ser utilizados para dar área y el volumen. (bajo una curva, o de un paralelepípedo)

Pregunta: ¿Qué estructura matemática abarca tanto? (Si la respuesta es la categoría de la teoría, por favor, ir poco a poco conmigo, yo no entiendo de esas cosas todavía.)

¿Qué otra cosa podríamos añadir a esta lista? Hay algún problema o pruebas que traen estos paralelismos en la luz?

Existen otras estructuras matemáticas que siguen el patrón establecido por estas dos estructuras?

Se desarrollaron de forma independiente (lo sospecho) o es el determinante de alguna manera modelada después de la integral, o viceversa? (Sé que mis matemáticas historia y no han encontrado nada acerca de esto.)

Answer 1

Supongo que uno muy natural respuesta a la pregunta es proporcionada por formas diferenciales. En un suave $n$-colector, una $n$-forma es un tipo de "campo", cuyo valor en cada punto es un factor determinante en el espacio de la tangente en ese punto. (Digo "determinante" porque es sólo en $\mathbb R^n$ - o, más en general, un producto interior espacio, que hay una forma natural para definir el determinante.) Una $n$-forma es exactamente el tipo de campo que puede ser integrado a través de una $n$-colector en una coordenada independiente de la forma. Más en general, una $k$-forma en un $n$-manifold es un campo del que se obtiene un factor determinante en cada una de las $k$-dimensiones subespacio de cada espacio de la tangente, y es el tipo de campo que puede ser integrado a través de $k$-dimensiones submanifolds. (Puede encontrar más información sobre esto en mi libro Introducción a la Suave Colectores.)

Answer 2

Es una pregunta interesante. Si hubo fuertes y formalizable analogía probablemente habría sido desarrollado hace mucho tiempo y se inscriben en los libros de texto. Un par de observaciones.

1. El álgebra lineal analógica de la integración es una traza. Son los factores determinantes de una exponentiated de seguimiento. Por ejemplo, $\det \exp A = \exp Tr(A)$ para las matrices.

2. Si la integración de la vista como la solución de ecuaciones diferenciales, en lugar de medir, a continuación, aparece como determinante de la Wronskian.

3. Integración (como medida) y los factores determinantes están estrechamente relacionados en la teoría que hay detrás del cambio de las variables de la fórmula en las integrales: formas diferenciales.

4. La integral es una traza en un infinito espacio tridimensional (el álgebra conmutativa de funciones, por ejemplo, un intervalo cerrado o la línea real), mientras que el factor determinante es específicamente finito-dimensional. La medida de Lebesgue utilizado ordinario $n$-dimensiones integrales, en cierto sentido, se define el uso de los determinantes (de volumen), que es la razón por la que no generaliza bien a espacios de infinitas dimensiones.

5. El pensamiento acerca de las integrales y los factores determinantes en términos de propiedades formales que satisfacer conduce a "K-teoría", específicamente $K_1$, pero no creo que esto produce profundas o sorprendentes analogías entre los conceptos.