La diferenciabilidad de las Circunvoluciones

Question

Deje $f(x) \in L^p(\mathbb{R})$$K \in C^m(\mathbb{R})$. Puedo decir, entonces, que $(f \ast K) (x) = \int_{\mathbb{R}} f(t) K(x-t) dt$$C^m$?

Sé que esto es cierto si $K$ tiene soporte compacto, pero me preguntaba si es posible tener un resultado más fuerte (quizás $K$ de fuga en $\infty$?).

Answer 1

No. Si $K$ no tiene soporte compacto, entonces $f*K$ ni siquiera necesitan estar acotada. Considere la función $K = 1 / \log( 3 + |x|)$, e $f(x) = (1 + |x|)^{-1/p - \epsilon}$. Para $\epsilon > 0$. A continuación,$f\in L^p$, pero la integral de convolución no convergen en cualquier lugar, incluso cuando se $K$ se desvanece en $\infty$.

Lo que usted puede hacer es exigir $K$ decae con la suficiente rapidez. Lo que necesitas es también Jóvenes de la desigualdad de las circunvoluciones, lo que implica que

$$ \sup |f * K| \leq \|f \|_p \|K\|_q $$

si $1/p + 1/q = 1$. Así, en particular, si $K\in C^m(\mathbb{R}) \cap W^{m,q}(\mathbb{R})$ donde $W^{m,q}$ es el espacio de Sobolev de $m$-a veces débilmente diferenciable, $q$integrable funciones con $q = p / (p-1)$, se puede concluir que la convolución es $C^m$.

Answer 2

Escribí un artículo sobre el análisis recientemente y he incluido el siguiente resultado relevante (con prueba) en el artículo; espero que sea de ayuda:

Teorema Deje $f\in L^1(\mathbb{R}^n)\cap L^p(\mathbb{R}^n)$ algunos $1\leq p \leq \infty$. También, vamos a $g\in L^1(\mathbb{R}^n)$ ser una función cuyas derivadas parciales de primer orden existen y son tales que $\frac{\partial g}{\partial x_i}$ está delimitada en $\mathbb{R}^n$ todos los $1\leq i\leq n$. Llegamos a la conclusión de que las derivadas parciales de la convolución $f\ast g$ de primer orden existen en $\mathbb{R}^n$. De hecho, $\frac{\partial (f\ast g)}{\partial x_i}=f\ast (\frac{\partial g}{\partial x_i})$ todos los $1\leq i\leq n$.

Prueba. En primer lugar observamos que la convolución $f\ast g\in L^1(\mathbb{R}^n)\cap L^p(\mathbb{R}^n)$ por Minkowski del inquality y por lo tanto es finito (y bien definido).e. Fijemos $1\leq i\leq n$. Tenga en cuenta que

$\frac{\left(f\ast g\right)\left(x+he_i\right)-\left(f\ast g\right)(x)}{h} - \left(f\ast \left(\frac{\partial g}{\partial x_i}\right)\right)\left(x\right)$

$= \int_{\mathbb{R}^{n}} f\left(y\right)\left[\frac{g\left(x-y+he_i\right)-g\left(x-y\right)}{h} - \left(\frac{\partial g}{\partial x_i}\right)\left(x-y\right) \right]dy$

En particular,

$\frac{\partial \left(f\ast g\right)}{\partial x_i}\left(x\right)$

$=\lim_{h\to 0} \int_{\mathbb{R}^{n}} f\left(y\right)\left[\frac{g\left(x-y+he_i\right)-g\left(x-y\right)}{h}\right]dy$

$= \int_{\mathbb{R}^{n}} \left[\lim_{h\to 0} f\left(y\right)\left[\frac{g\left(x-y+he_i\right)-g\left(x-y\right)}{h}\right]\right]dy$

$= \int_{\mathbb{R}^n} f\left(y\right)\frac{\partial g}{\partial x_i}\left(x-y\right) dy$

$= \left(f\ast \frac{\partial g}{\partial x_i}\right)\left(x\right)$

Vamos a justificar este cálculo utilizando el Lebesgue teorema de convergencia dominada. En particular, mostraremos que si $x\in \mathbb{R}^n$ es fijo, la expresión $\left|\frac{g\left(x-y+he_i\right)-g\left(x-y\right)}{h} - \left(\frac{\partial g}{\partial x_i}\right)\left(x-y\right)\right|$ está delimitado por una $L^1(f)$ función en $y$ todos los $h>0$ suficientemente pequeño. (Recordemos que $L^1(f)$ $L^1$ espacio asociado al complejo de medida $\mu_f$ definido por $\mu_f(E)=\int_{E} f$ por cada medibles $E\subseteq \mathbb{R}^n$. Claramente, cada función constante es en $L^1(f)$.) Sin embargo, esta es una sencilla consecuencia del valor medio teorema: sabemos que existe $\delta>0$ tal que $0<h<\delta$ implica

$\left|\left[\frac{g\left(x-y+he_i\right)-g\left(x-y\right)}{h}\right] - \left(\frac{\partial g}{\partial x_i}\right)\left(x-y\right)\right|$

$\leq 2\sup_{c\in\mathbb{R}^n}\left|\frac{\partial g}{\partial x_i}\left(c\right)\right|$

y el resultado se sigue ahora de la hipótesis. Q. E. D.