Navier-Stokes Ecuación De La Energía

Question

Me han asignado (para la tarea en una modelización matemática curso) la tarea de la que se derive la Navier-Stokes ecuación de la energía en un espacio de dimensión:

Considere la posibilidad de un líquido que fluye a través de un tubo cilíndrico (de izquierda a derecha; supongamos también que el tubo horizontal) con sección transversal constante $A$, la velocidad de $v(x,t)$, la densidad de $\rho(x,t)$, específico de la energía interna $e(x,t)$, temperatura,$T(x,t)$, bajo la presión de $p(x,t)$, y sujeto a la viscoso estrés. (Por específicas interior de la energía, nos referimos a la energía interna por unidad de masa. Interior de la energía surge de las colisiones intermoleculares en los líquidos, y debe ser distinguida de la energía cinética asociada con el macroscópico, el movimiento de los fluidos(es decir, $\tfrac{1}{2}mv^2$). Por conservación de la energía, muestran que \begin{equation} \left[\rho\left(\frac{v^2}{2}+e\right)\right]_{t}+\left[\rho ve+\frac{1}{2}\rho v^3-\kappa(x)T_x+pv-\mu vv_x\right]_x=0, \end{equation} donde $\kappa$ es la difusividad térmica y $\mu$ es el coeficiente de viscosidad.

Conectado con el problema es que esta "sugerencia":

Nota. La densidad de energía deben ser fáciles de identificar. Para el flujo, consideramos que cada uno de los siguientes, que se corresponden respectivamente con los términos de la ecuación anterior: energía interna, energía cinética, la pérdida de energía por calor, la energía que se pierde a trabajar en contra de la presión, la energía que se pierde a trabajar en contra de viscosa estrés.

Supongo que es para nosotros el uso de la ecuación de conservación de la $u_t+f_x=0$ (donde $u(x,t)$ es que algunos conservan la cantidad y $f$ es el flujo), pero estoy teniendo un montón de problemas en la interpretación de los fenómenos físicos como las ecuaciones (soy matemáticas estudiante de posgrado que sabe vergonzosamente poco de física).

Buscando en la ecuación anterior es de suponer que la densidad de la energía en un punto es simplemente la energía interna más energía cinética, o $mv^2/2+me$, (desde específico de la energía interna es la energía interna es la energía interna por unidad de masa) y, a continuación, de alguna manera debemos ser capaces de argumentar que $m=\rho A$, y, finalmente, el $A$ será dividido. El problema que tengo con esto, sin embargo, es que creo que la ecuación es la masa $=$ volumen $\times$ densidad--no en el área, y estoy teniendo un poco de problemas conceptualmente permitir a mí mismo el estado de $m=A\rho$ con confianza (ya que cualquier objeto sin un espacio de tres dimensiones debe tener un volumen cero a la derecha?).

Para el flujo, estoy teniendo verdaderos problemas en la interpretación de lo que el "flujo de energía" sería, incluso con su sugerencia.

Cualquier ayuda sería muy apreciada. Espero que esta pregunta no ha sido pedido ya (me hizo un buen poco de búsqueda) y que ha sido etiquetadas correctamente. Gracias de antemano.

También, las recomendaciones para un libro de física dirigido a personas con una experiencia en las matemáticas, sería muy apreciado también.

Por favor, hágamelo saber si algo está claro en el enunciado de la pregunta y voy a intentar mi mejor esfuerzo para aclarar las cosas.

Answer 1

Usted tiene el derecho de punto de partida con la energía, básicamente, pero me estoy encontrando su tarea sugerencia más útil que a donde vaya de energía de la unidad diferencial. Se dice que "La densidad de energía deben ser fáciles de identificar." La densidad de energía es:

$$ \frac{\text{energy}}{\text{volume}} = \frac{\text{mass}}{\text{volume}} \frac{\text{energy}}{\text{mass}} = \rho \frac{v^2}{2} + \rho e $$

Para su problema, esto es práctico porque ya estamos viendo de esta forma en la respuesta.

Echemos un vistazo a los componentes mencionados en la pista y ver si esos que nos ayuden.

• interior de la energía
• energía cinética
• pérdida de energía por calor
• la energía que se pierde a trabajar en contra de la presión
• la energía que se pierde a trabajar en contra de viscosa estrés

Mira esto, y mirando la ecuación, tenemos un vívido panorama de lo que todos los términos. Un rápido deconstrucción hace que el siguiente aspecto si me denotar el fluido de la energía (interna plus cinética) como $w$ (yo diría que es $e$, pero que tomaron).

$$ \frac{d}{dt} \rho w = \frac{d}{dx} \left( -v \rho w + \text{conduction - expansion + kinetic} \right) $$

Estos son todos exactamente en el mismo orden como lo que fue dado en la pista. Suena como que usted está tarea es caminar hacia atrás desde este punto de vista a algún principio fundamental, específicamente, de conservación de la energía. Para empezar con una afirmación teórica de que (decir, la ecuación 26) y empezar a comparar las cosas. A partir de la ecuación en la que enlaza pdf, el primer término ya de los partidos. Eso es fácil, porque usted sabe lo que la dirección del fluido está fluyendo en. El próximo plazo, usted tiene una Del dot-producto, con el mismo plazo. Usted debe ser capaz de trabajar en eso.

De pasar, Del punto p es también exactamente lo que estás buscando (para obtener la conducción plazo). Usted necesitará algo de finura argumentando por qué las señales deben ser de la manera que son. Entonces, volumétricos aportación de calor puede ser equiparada a la fricción de la calefacción.