Esto no es lo que se les pide, pero bueno la intuición por el hecho de que si $f$ es un cerrado convexo de la función, a continuación,$f^{**} = f$. (Aquí se $f^*$ es convexo de la conjugada de $f$.)
Creo que el origen de toda dualidad, resultados de análisis convexo es el hecho de que un conjunto convexo cerrado $C$ es la intersección de todos los cerrados de la mitad de los espacios que contengan $C$.
Si aplicamos esta idea a el epígrafe de un cerrado convexo función de $f$, podemos ver que $f$ es el supremum de todos los afín a las funciones que se majorized por $f$.
Para cualquier pendiente $m$, puede haber diferentes constantes de $b$ de manera tal que la función afín $\langle m, x \rangle - b$ es majorized por $f$. Sólo se necesitan los mejores constante.
Eso es lo que la convexo conjugado $f^*$ hace por nosotros. Dada una pendiente $m$, $f^*$ vuelve la mejor constante $b$ tal que $\langle m, x \rangle - b$ es majorized por $f$. Y (claramente) la mejor opción de $b$ es:
\begin{equation}
f^*(m) = \sup_x \quad \langle m, x \rangle - f(x).
\end{equation}
($\langle m, x \rangle$ supera $f(x)$ a la mayoría de los $f^*(m)$, por lo que
$\langle m, x \rangle - f^*(m)$ supera $f(x)$ a la mayoría de los $0$.)
Desde esta perspectiva, es inmediato que para cualquier $x$
\begin{equation}
f(x) = \sup_m \quad \langle m, x \rangle - f^*(m).
\end{equation}
Y esta dice que el $f(x) = f^{**}(x)$.
Aquí hay una forma natural para asociar un conjunto convexo cerrado con la función de $f$, y llevó a una dualidad en el resultado. Es allí una manera similar a la que asociar un conjunto convexo cerrado con un problema de optimización convexa, y obtener una dualidad resultado para problemas de optimización convexa?
Si el problema de optimización es:
\begin{align}
\operatorname*{minimize}_x &\quad f(x) \\
\text{subject to} & \quad Ax = b \\
& \quad h_i(x) \leq 0 \quad \text{for } i = 1,\ldots, m
\end{align}
donde $f$ $h_i,i=1,\ldots, m$ están cerradas las funciones convexas, entonces podemos asociar un "prólogo" a este problema de optimización convexa de la siguiente manera:
\begin{equation}
C = \{ (u,v,t) \mid \exists \, x \,\text{such that } f(x) \leq t, Au = b, h_i(x) \leq v_i \text{ for } i = 1,\ldots,m \}.
\end{equation}
Por el pensamiento de $C$ en términos de cerrado de la mitad de los espacios que contengan $C$, o en términos de hyperplanes que apoyan $C$, se puede obtener una interpretación geométrica de la doble problema, y una buena prueba de un fuerte teorema de la dualidad.
