Singularidades de Curvas de Característica Positiva

Question

Dada una colección de polinomios $\mathscr{F}\subset\mathbb{Z}[x_1,\ldots,x_n]$, podemos asociar a cada primer ideal de $\mathbb{Z}$ una variedad afín de la siguiente manera: $$ (p)\longmapsto Z(\mathscr{F})\subconjunto\mathbb{A}^n_{k} $$ donde $k=\overline{\mathbb{F}_p}$ (en el caso de $p=0$, definir $\mathbb{F}_0:=\mathbb{Q}$). En virtud de esta asociación, que prime ideales $(p)$ corresponden a singular variedades?

Esta pregunta está motivada por el ejercicio I$.5.1$ en Hartshorne. Parte $(c)$ del ejercicio en que se nos pide hallar los puntos singulares de la curva de $X$ definido por $x^3=y^2+x^4+y^4$$\mathbb{A}^2$. Después de haber hecho este ejercicio me he encontrado con que si char$k=0$, $(0,0)$ es el único punto singular de $X$, mientras que para las características $2$,$7$, y $13$, la curva tiene otros puntos singulares (usted puede comprobar el resultado, si quieres; el ejercicio excluye característicos $2$, pero he incluido este caso, de todos modos).

Encontrar el extra de puntos singulares y sus características que supone un trato justo de la computación Jacobians y la solución de ecuaciones simultáneas. Hay otra manera para encontrar las características que dar puntos singulares?

Supongo que esto es realmente una pregunta acerca de la existencia de soluciones de un sistema de ecuaciones polinómicas mod $p$. En el caso de un plano de la curva, definida por $f(x,y)=0$, queremos saber en que las características del sistema de ecuaciones $$ f(x,y)=0 $$ $$ \partial_xf(x,y)=0 $$ $$ \partial_yf(x,y)=0 $$ tiene una solución. Dado $p$, hay alguna manera rápida de decir que este sistema es compatible?

Answer 1

Como usted dice, la pregunta es equivalente a encontrar los números primos para que los polinomios $f$, $\partial f/\partial x$ y $\partial f/\partial y$ tienen una raíz común. De manera más general, considerar tres polinomios $f(x,y)$, $g(x,y)$ y $h(x,y)$ con coeficientes enteros. Podemos pedir que los números primos $p$ tienen una raíz común.

Es más común a esta pregunta para polinomios homogéneos $f(x,y,z)$, $g(x,y,z)$ y $h(x,y,z)$, preguntando cuando las correspondientes ecuaciones tienen una raíz común en $\mathbb{P}^2$. Esto es debido a la cuestión señalo en mi comentario: $x(x-py-1)=0$ es singular para cada primer distinta de $p$, pero no por $p$. Si usted trabaja en el espacio proyectivo, entonces el conjunto de los números primos para los que no existe una raíz común, siempre va a ser todos los números primos o un conjunto finito. (En este ejemplo, la ecuación homogénea $x(x-py-z)=0$ es singular para todos los $p$.)

El concepto que queremos aquí es el multivariante resultante: Un polinomio en los coeficientes de $f(x,y,z)$, $g(x,y,z)$ y $h(x,y,z)$ que se desvanece si y sólo si $f$, $g$ y $h$ tienen una raíz común en $\mathbb{P}^2$.

Si calcula el multivariante resultante de $f(x,y,z)$, $f_x(x,y,z)$ y $f_y(x,y,z)$, obtendrás un número entero $R$. Las curvas $f$, $f_x$ y $f_y$ $\mathbb{P}^2$ tienen una raíz común para los números primos que dividen a $R$. (Debido a que $R=0$ en el carácter $p$ si $p$ divide $R$.) Esta no es exactamente la misma pregunta cuando el original polinomio $f(x,y)=0$ es singular, pero que está muy cerca.

Cuando empecé a escribir esta respuesta, yo sabía que lo que quería era multivariante resultante, pero yo no sabía cómo se calcula. Después de cavar a su alrededor en línea, creo que es porque el problema es difícil! Aquí hay un par de enlaces que he aficionado que podrían ayudar: Capítulo 4 en Sturmfels el libro de la Resolución de Sistemas de Ecuaciones Polinómicas, MO pregunta, D'Andrea y Dickenstein.

Tratar con variedades que no son hypersurfaces va a ser más difícil.