La forma cerrada de $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1} n (\log(n^2+1)-\log(n^2))$

Question

¿Cómo iniciar la computación de esta serie?

$$\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1} n (\log(n^2+1)-\log(n^2))$$

Una de las maneras de pensar sería Frullani integral con la función exponencial , pero es problemático debido a la potencia de $n$ bajo logaritmo. ¿Qué más puedo intentar?

Answer 1

Estoy recibiendo la misma respuesta como usted.

$$ \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n+1} n \log \left( \frac{n^{2}+1}{n^{2}}\right) = \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n+1} n \int_{0}^{1} \frac{1}{n^{2}+x} \ dx$$

Entonces a partir de la $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}n}{n^{2}+x}$ converge uniformemente en $[0,1]$,

$$ \begin{align} &\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n+1} n \int_{0}^{1} \frac{1}{n^{2}+x} \ dx \\ &= \int_{0}^{1} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}n}{n^{2}+x} \ dx \\ &= \frac{1}{4} \int_{0}^{1} \left[ \psi \left(\frac{i \sqrt{x}}{2} \right)- \psi \left(\frac{1}{2} + \frac{i \sqrt{x}}{2} \right) + \psi \left(-\frac{ i \sqrt{x}}{2} \right)- \psi \left(\frac{1}{2} - \frac{i \sqrt{x}}{2} \right) \right] \ dx .\end{align}$$

El anterior de la serie se puede obtener de trabajo hacia atrás y el uso de la serie de la representación de la función digamma (14) .

Ahora vamos a $t = \sqrt{x}$.

Entonces $$ \begin{align} &\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n+1} n \log \left(\frac{n^{2}+1}{n^{2}} \right) \\&= \frac{1}{2} \int_{0}^{1} \left[t \psi \left(\frac{it}{2} \right) - t \psi \left(\frac{1}{2} + \frac{i t}{2} \right) + t \psi \left(-\frac{it}{2} \right) - t \psi \left(\frac{1}{2} - \frac{it}{2} \right) \right] \ dt . \end{align}$$

Y la integración por partes,

$$ \begin{align} &\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n+1} n \log \left(\frac{n^2+1}{n^{2}} \right) \\ &= \frac{1}{2} \Bigg[ 4 \psi^{(-2)} \left(\frac{it}{2} \right) - 2i t \log \Gamma \left( \frac{it}{2}\right) - 4 \psi^{(-2)} \left(\frac{1}{2}+ \frac{it}{2} \right) + 2i t \log \Gamma \left( \frac{1}{2} + \frac{it}{2}\right) \\ &+ 4 \psi^{(-2)} \left(-\frac{it}{2} \right) + 2i t \log \Gamma \left(- \frac{it}{2}\right) - 4 \psi^{(-2)} \left(\frac{1}{2} -\frac{it}{2} \right) - 2i t \log \Gamma \left(\frac{1}{2} - \frac{it}{2}\right)\Bigg] \Bigg|^{1}_{0} \\ &= 2 \psi^{(-2)} \left(\frac{i}{2} \right) - i \log \Gamma \left(\frac{i}{2} \right) - 2 \psi^{(-2)} \left(\frac{1}{2} + \frac{i}{2} \right) + i \log \Gamma \left(\frac{1}{2} + \frac{i}{2} \right) + 2 \psi^{(-2)} \left(-\frac{i}{2} \right) \\ &+ i \log \Gamma \left(-\frac{i}{2} \right) - 2 \psi^{(-2)} \left(\frac{1}{2} - \frac{i}{2} \right) - i \log \Gamma \left(\frac{1}{2} - \frac{i}{2} \right) + 4 \psi^{(-2)} \left(\frac{1}{2} \right). \end{align}$$

En términos de simplificación, $\psi^{(-2)} \left( \frac{1}{2}\right)$ puede ser expresada en términos de la Glaisher-Kinkelin constante.

Y una mayor simplificación es posible mediante el uso de las Schwarz principio de reflejo.

$$\begin{align} \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n+1} n \log \left(\frac{n^{2}+1}{n^{2}} \right) &= 4 \ \text{Re} \ \psi^{(-2)} \left(\frac{i}{2} \right) -4 \ \text{Re} \ \psi^{(-2)} \left(\frac{1}{2} + \frac{i}{2} \right) + 2 \ \text{Im} \ \log \Gamma \left( \frac{i}{2}\right) \\ &-2 \ \text{Im} \ \log \Gamma \left(\frac{1}{2} + \frac{i}{2} \right) + 6\log A + \frac{5}{6} \log 2 + \log \pi \end{align}$$

que de acuerdo a Wolfram Alpha es de aproximadamente $0.4277662568$