Cómo probar que si convexo $A \subset \mathbb{R}^n$$A+A=A$$0 \in cl(A)$?

Question

Cómo probar que si convexo $A \subset \mathbb{R}^n$$A + A = A$$0 \in cl(A)$?

Para un ejemplo de $A$ que tiene una condición sino $0 \notin A$ considera $(0,\infty)$.

Answer 1

Si $0 \not\in cl(A)$ entonces no existe $\varepsilon > 0$ tal que $B_{\varepsilon}(0) \cap A =\emptyset$. Ahora tome $$l = \sup\{\varepsilon > 0\text{ such that }B_{\varepsilon}(0) \cap A =\emptyset\}.$$ Claramente $B_l(0) \cap cl(A) \neq \emptyset$ y, a continuación, usted puede conseguir un absurdo usar ese $A + A = A$. Si $k = \sup\{\varepsilon > 0\text{ such that }B_{\varepsilon}(0) \cap (A + A) =\emptyset\}$ $k \geq 2l$ ya que si no, vamos a $k < r < 2l$, $v,w \in A$ tal que $$v + w = 2\left(\frac{1}{2}v + \frac{1}{2}w\right) \in B_{r}(0).$$ Desde $A$ es convexa $\frac{1}{2}v + \frac{1}{2}w \in B_{\frac{r}{2}}(0) \cap A$ y esto es absurdo, ya $\frac{r}{2} < l$. Ahora, desde la $A + A = A$ $l$ debe $k \geq 2l$.

Answer 2

Suponga $A\neq\emptyset$. Deje $x\in A$. Entonces a partir de la $A+A\supset A$ existe $y,z\in A$ tal que $x=y+z$. Pero, a continuación, por la convexidad $\tfrac{1}{2}x = \tfrac{1}{2}(y+z)\in A$. Repitiendo este argumento con $\tfrac{1}{2}x$, $\tfrac{1}{4}x$, y así sucesivamente, usted consigue $\tfrac{1}{2^k} x\in A$. Dejar $k\to\infty$, $0\in\text{cl}(A)$.

Answer 3

Hemos de asumir la $A\neq\emptyset$. Supongamos $0\notin\operatorname{cl}(A)$. Entonces existe $p\neq 0$ $r>0$ tal que $px\geq r$ todos los $x\in\operatorname{cl}(A)$ $ px^*= r$ algunos $x^*\in\operatorname{cl}(A)$ por la separación de hyperplane teorema. Podemos escribir cada una de las $x\in\operatorname{cl}(A)$ $x=a+b$ y, por tanto,$px=pa+pb\geq r+r=2r$, en particular,$px^*\geq 2r$, lo cual es imposible.