¿Qué hay de la Conversación del Teorema de Lagrange?

Question

Si se le da un número entero positivo $n$ un grupo $G$ de orden $n$ y un divisor $d$ de $n$ ¿En qué casos podemos estar seguros de la existencia de un subgrupo $H$ de $G$ de orden $d$ ?

¿Cuál es la situación en el caso del grupo simétrico en $m$ o para el grupo de alternancia?

¿Cuál es la declaración más general en cada caso?

Answer 1

Consulte estos dos enlaces para obtener información adicional:

La inversa del Teorema de Lagrange es cierta para un grupo finito supersoluble.

y

Una especie de inversa del Teorema de Lagrange . En el segundo, hay una gran clasificación para el problema hecha por el extrañado @Arturo Magidin.

Answer 2

Los teoremas de Sylow tratan el caso en que $d$ es una potencia primera. Se puede demostrar que si $d$ es no una potencia primera, entonces hay un múltiplo $n$ de $d$ y un grupo $G$ de orden $n$ sin subgrupos de orden $d$ .

Aquí hay una referencia (por favor, hágame saber si no es accesible): Donald McCarthy, El teorema de Sylow es una conversión parcial aguda del teorema de Lagrange. Math. Z. 113 (1970) 383-384.

Answer 3

Dos teoremas generales son:

Teorema de Cauchy: Si $G$ es un grupo finito y $p$ es un número primo que divide a $|G|$ entonces $G$ tiene un elemento de orden $p$ (y por tanto un subgrupo de orden $p$ ).

Cada $p$ grupo $G$ tiene un subgrupo de cualquier orden que divide a $|G|$ .