El martes de Cumpleaños Problema - ¿por qué la probabilidad de cambio cuando el padre se especifica el cumpleaños de un hijo?

Question

He más recientemente leí acerca de los martes Chico Problema a través de twitter y yo, como probablemente la mayoría de la gente, estaba seguro de que la probabilidad tiene que ser de 1/2. Después de haber leído un montón de soluciones que no eran idénticas en todo, he llegado a la conclusión de que $P = \frac{13}{27}$ suena más razonable. El argumento correspondiente es la siguiente:

Dicen que el hijo mayor es el niño nacido en martes. Entonces, si el niño más joven es la mujer, hay siete posibilidades y de forma análoga, si el niño más joven es el de un varón. En caso de que el niño más joven es el niño nacido en martes, durante una hija mayor, de nuevo hay siete posibilidades, pero para un hijo mayor, sólo hay seis, porque el caso de que el hijo mayor nació el martes ya se ha contado. Por lo tanto,

$$P = \frac{6+7}{6+7+7+7} = \frac{13}{27}. $$

Mi primera pregunta es: ¿esta Es la solución correcta? He encontrado otros sitios web, dando diferentes soluciones, sin embargo yo nunca podría estar de acuerdo con ninguna de esas.

En caso de que esta es la solución correcta: ¿por Qué la probabilidad de cambio cuando el padre se especifica el cumpleaños de un hijo? (¿cambiar realmente? Un montón de respuestas/posts afirmó que la declaración no importa) Lo que quiero decir es: es claro que (en caso de que él tiene un hijo), su hijo es nacido en algún día de la semana. Podría reemplazar martes con cualquier día de la semana y la probabilidad sería la misma. Dicen que el padre habría declarado:

Tengo dos hijos. (Al menos) Uno de ellos es un hijo.

Entonces, sin pérdida de generalidad, se puede decir que este es hijo nació un martes y otra vez tendríamos $P = \frac{13}{27}$. Pero mirando un equivalente (?) problema, tenemos una completamente diferente de la probabilidad: Vamos a lanzar dos monedas de forma consecutiva y dicen los jefes es equivalente a "hijo", y las colas a la "hija". Entonces, si sabemos que lanzamos al menos uno de los jefes, si fue el primero que tiró la moneda, la probabilidad de que la otra cara es 1/2. Si la segunda moneda fue jefes, entonces, sólo podemos tomar el caso en cuenta en la primera moneda salió cruz. Así que la probabilidad de que dos cabezas es $P = \frac{1}{3}$.

Así que mi segundo (en realidad la tercera) la pregunta es: ¿de Dónde me salen mal?

Por último quiero preguntar (como mi conocimiento de la probabilidad/estadística se limita a lo que me han enseñado en la escuela secundaria) si el argumento que da $P=\frac{13}{27}$ para el primer martes de Cumpleaños Problema tiene ya la posibilidad de gemelos en consideración. Puede ser considerado como un caso especial de dos hijos, ambos nacidos en martes (me pregunto porque en todos los argumentos que conducen a esta probabilidad no había una distinción entre niño mayor de esa edad = boy vs hijo menor = niño)?

Muchas gracias de antemano por cualquier respuesta.

Answer 1

Como Jason Rosenhouse señala en el post del blog a la que se enlaza, la respuesta correcta depende mucho de las suposiciones sobre el espacio muestral. Específicamente, depende de lo que el orador diría que si había un conjunto diferente de los niños. Mira los tres escenarios proporcionados por Tanya Khovanova: en una de ellas la respuesta correcta es $1/2$, en el otro, es $1/3$, y en la tercera es $13/27$. En particular, si se supone que el orador fue elegido al azar entre el grupo de hombres que se podría decir honestamente "tengo dos hijos, y uno es un hijo nacido un martes', $13/27$ es la respuesta correcta.

Si el hombre dice simplemente "tengo dos hijos, al menos uno de los cuales es un hijo', la probabilidad de que el otro niño es un niño de nuevo depende del espacio muestral $-$ en los supuestos acerca de cómo el orador fue el elegido. Si él fue elegido al azar de la piscina de todos los hombres que se podría decir honestamente "tengo dos hijos, y uno es un hijo nacido un martes', sino que simplemente hizo que los más débiles de la declaración de "tengo dos hijos, al menos uno de los cuales es un hijo', la respuesta correcta es $13/27$, como antes. Si, sin embargo, él fue elegido al azar de la piscina de todos los hombres que se podría decir honestamente "tengo dos hijos, al menos uno de los cuales es un hijo', la respuesta correcta es $1/3$. Y si él fue elegido al azar de la piscina de todos los padres de dos niños y me dijeron que el sexo de uno de sus hijos, elegido al azar, entonces la respuesta correcta es $1/2$. (Estos son, en orden inverso, Tanya Khovanova tres escenarios, modificado por la declaración revisada por el padre.)

Estas son malas puzzles, en el sentido de que no pueden ser respondidas sin hacer suposiciones que van más allá de lo que en realidad dijo en el problema. Por lo tanto, realmente no hay una sola respuesta correcta. Más bien, hay varias respuestas que son adecuados para diferentes suposiciones de fondo.

Para la última pregunta, tenga en cuenta que incluso con los gemelos que tienen normalmente un anciano y un niño más joven, incluso si es sólo por un pequeño intervalo de tiempo, por lo que la mayor/menor argumento todavía funciona (en la configuración en la que es la interpretación adecuada).

Answer 2

Todo depende de cómo llegamos a la declaración del padre. Así que digamos que siempre supo que el padre tiene dos hijos, y él hizo la declaración de que "Uno es un hijo nacido un martes".

Ahora supongamos que le dio al hombre una lista con los 14 declaraciones "uno es un hijo nacido en lunes", "uno es un hijo nacido un martes", ..., "uno de ellos es una niña nacida en un sábado", "una es una niña nacida en un domingo". Y le pedimos que lea la primera oración en la lista que es cierto. O de la última declaración en la lista que es cierto. O escoger al azar las declaraciones de la lista hasta que encuentre un verdadero y lo lean.