Pregunta acerca de la topología de Zariski

Question

Aquí está la pregunta:

Deje $A$ ser un anillo conmutativo con unidad de, $X=\mathrm{Spec}A$, $U_i$s ser cuasi-compacto abrir conjuntos de $X$ tal que $\emptyset=\cap_{i\in I}U_i$, entonces existe un subconjunto finito $I_0$ $I$ tal que $\emptyset=\cap_{i\in I_0}U_i$.

Yo solo hice más caso más sencillo, que es cuando todos los $U_i$s se distinguen conjunto abierto $D(f_i)$. La siguiente es una prueba: Deje $S$ ser el multicative conjunto finito de producto de $f_i$s, a continuación,$A_S=0$. Así pues, tenemos un producto finito $f_1f_2\cdots f_n=0$ (aquí nos permiten $f_i=f_j$), $\cap_{i=1}^nD(f_i)=\emptyset$.

No sé cómo hacer que el caso anterior. Alguien podría dar algunos consejos?

Gracias.

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Edit: Querido Pierre-Yves Gaillard, aquí está la historia que he encontrado el problema:)

Un espacio topológico se dice espectral espacio si es homeomórficos para el espectro de un anillo conmutativo. Y la proposición 8 en este trabajo(M. Hochster (1969). "El primer ideal de la estructura en anillos conmutativos." Trans. Amer. De matemáticas. Soc., 142 43-60) implica esta afirmación es verdadera.

Puedo copiar el contenido de la proposición 8 como sigue:

La proposición 8. Deje $X$ ser espectral. Retopologize $X$ tomando como base para los conjuntos cerrados de la cuasi-compacto bloques abiertos de X. a Continuación, $X$ con esta nueva topología es espectral, y el nuevo orden inducido en $X$ por esta topología es precisamente la inversa de la orden original.

Me encontré con este problema de una charla con mi amigo, y me pregunto si no es una simple prueba para este caso especial(es decir, me acaba de asumir todos los $U_i$s son p.c. no el general de conjuntos cerrados de la inversa de la topología) antes de leer el papel. Cuando trato de demostrarlo, he descubierto que no es fácil para mí, y me acabo de resolver el caso de distinguidos abre.

(aparte:yo sé que debe haber muchos equivocado acerca de la sintaxis y gramática, agradecería que si puedes mejorar este post.)

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Actualización: el Uso de Alexander subbase teorema, podemos comprobar el cuasi-compacidad en el nivel de una subbase! Así que, de hecho, hemos terminado! Hoy sé que este poderoso teorema.

Answer 1

No he resuelto; esto es sólo una sugerencia. Yo no soy fuerte en álgebra, así que me gustaría probar primero a traducir de nuevo en ideales:

"Vamos a $(I_i)_{i\in S}$ ser una colección de finitely generado ideales. Si cada primer ideal contiene $I_i$ algunos $i$ entonces existe un subconjunto finito $S_0\subset S$ de manera tal que cada primer ideal contiene $I_i$ algunos $i\in S_0$."

(Aunque puede ser necesario un mayor consecuencia de cuasi-compacidad.)

Ahora podemos tratar de generalizar el caso de que ya hemos realizado. Si algún producto $I_{i_1} \cdots I_{i_k}$ es nilpotent estamos hecho: cada primer ideal contiene cada nilpotent ideal, y por lo tanto, contiene algunos $I_{i_j}$. Escoge un ideal maximal que no contienen ningún ideal de la forma $\prod_i I_i^{t_i}$ donde $t_i$ son enteros no negativos con un número finito distinto de cero términos. Nos gustaría mostrar que este es un número primo, por ejemplo, al mostrar que el conjunto de ideales que contienen algunos $\prod_i I_i^{t_i}$ es una Oka familia (ver esta respuesta o ch 4 sección 1.3 de la CRing libro de texto).