Número de soluciones para el par de logaritmo discreto como ecuaciones?

Question

Es posible demostrar que para determinado$m$$k$, el número de números primos $p$ para los que existe $n$ $(<p)$ satisfactorio: $$n^m + k\equiv 0\pmod{p}$$ $$(n+1)^m + k\equiv 0\pmod{p}$$ es limitado (finito)?

Answer 1

Las dos congruencias tendrá una solución si la resultante (cfr) de los polinomios $x^m+k$ $(x+1)^m+k$ es un múltiplo de a $p$. Fijo $m$, resultante es un polinomio en a $k$ de grado de no más de $m$, por lo que fija $k$ sólo tiene un número finito de primos divisores. De este modo, habrá sólo un número finito de números primos para que las congruencias tendrá una solución.