Límite inferior de $|a+b \sqrt{2} + c \sqrt{3}|$

Question

Me he topado con esta pregunta: Que $a,b,c$ sean números enteros, no todos $0$ tal que $\max(|a|,|b|,|c|)<10^6$ . Demostrar que $|a+b \sqrt{2} + c \sqrt{3}| > 10^{-21}$ .

¿Alguien podría ayudar a resolver esto? Se prefiere la solución elemental.

Answer 1

Dejemos que $0 < \epsilon \ll 1$ sea cualquier pequeño y $M \gg 1$ sea cualquier número positivo grande. Sea $\lambda$ sea un número de la forma $a + b\sqrt{2} + c\sqrt{3}$ donde $a, b, c \in \mathbb{Z}$ no todo es cero, de manera que

$$|a|, |b|, |c| < M \quad\text{ and }\quad |\lambda| = |a + b\sqrt{2}+c\sqrt{3}| < \epsilon $$

Es fácil ver $\lambda$ es una raíz del polinomio

$$\begin{align} & \left((x-a - b\sqrt{2})^2 - 3c^2\right)\left((x-a + b\sqrt{2})^2 - 3c^2\right)\\ = & \left((x-a)^2 +2b^2 - 3c^2\right)^2 - 8b^2(x-a)^2\\ = & (x-a)^4 - 2(2b^2+3c^2)(x-a)^2 +(2b^2-3c^2)^2\\ \end{align}$$ Aplicar MVT para $x$ entre $0$ y $\lambda$ podemos encontrar un $\xi \in (0,1)$ tal que

$$4((\xi \lambda - a)^2 - 2b^2 - 3c^2)(\xi \lambda - a)x = -\left[a^4 - 2(2b^2+3c^2)a^2+(2b^2-3c^2)^2\right]$$ Está claro que podemos acotar el valor absoluto del LHS desde arriba por

$$4\max( (M+\epsilon)^2, 5 M^2 ) (M+\epsilon)\epsilon = 20 M^2 (M+\epsilon)\epsilon $$

Para $M = 10^6$ y $\epsilon = 10^{-20}$ este límite es de $0.2$ . Como el RHS es un entero, esto obliga a que sea cero. Es decir

$$a^4 - 2(2b^2+3c^2)a^2+(2b^2-3c^2)^2 = 0 \quad\iff\quad (a^2 - 2b^2 -3c^2)^2 = 24b^2c^2 $$ Desde $24$ no es un cuadrado, tenemos

$$\begin{align} a^2 - 2b^2 - 3c^2 = bc = 0 \implies & ( b = 0 \land a^2 = 3c^2 ) \lor ( c = 0 \land a^2 = 2b^2 )\\ \implies & a = b = c = 0 \end{align} $$ Esto se contradice con nuestra suposición de que $a, b, c$ no son todos cero.

Conclusión : Si $|a|, |b|, |c| \le 10^6$ y no todos cero, entonces $| a + b\sqrt{2} + c\sqrt{3} | \ge 10^{-20} > 10^{-21}$ .

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Notas aleatorias

Tenga en cuenta que lo derivado anteriormente es una estimación muy pobre del límite inferior real.
Si no cometí ningún error, por $|a|, |b|, |c| < M = 10^6$ no todo es cero, tenemos

$$| a + b\sqrt{2}+c\sqrt{3} | \ge |376852-24672\sqrt{2}-197431\sqrt{3}| \approx 1.39824525 \times 10^{-11}\\ \color{red}{\text{this is wrong, see update below}} $$

Parece que, en general, el mayor límite inferior es del orden de $O(M^{-2})$ en lugar de $O(M^{-3})$ . En vista de Teorema de Roth Esto es lo que hay que esperar. Desgraciadamente, ¡no tengo ni idea de cómo probar esta especulación de forma rigurosa!

Actualización 2019/09/30

Como ha señalado O.S. Dawg, el límite inferior anterior es incorrecto.
Con $(a,b,c) = (96051,-616920,448258)$ , uno tiene

$$a+b\sqrt{2}+c\sqrt{3} \sim 3.352882344 \times 10^{-13}$$ superando el límite inferior que tengo antes. Tenga en cuenta que para obtener este número, necesito aumentar la precisión en el cálculo (el nuevo número se calcula con una precisión de 100 dígitos).

Answer 2

Dejemos que $$\begin{cases}f_{1}=a+b\sqrt{2}+c\sqrt{3}\\ f_{2}=a-b\sqrt{2}+c\sqrt{3}\\ f_{3}=a-b\sqrt{2}-c\sqrt{3}\\ f_{4}=a+b\sqrt{2}-c\sqrt{3}\end{cases}$$ Está claro que $$f_{1}f_{2}f_{3}f_{4}\in Z,a,b,c\in Z$$ desde $a,b,c$ son enteros, y no todos 0, por lo que $f_{k}\neq 0,k=1,2,3,4$ .y Nota $$\max\{|a|,|b|,|c|\}<10^6\Longrightarrow |f_{k}|<10^7,k=1,2,3,4$$ por lo que tenemos $$|f_{1}f_{2}f_{3}f_{4}|\ge 1\Longrightarrow |f_{1}|\ge\dfrac{1}{|f_{2}f_{3}f_{4}|}>10^{-21}$$