$f''(x)+e^xf(x)=0$ , demuestran $f(x)$ es limitada

Question

Función derivable en a $\mathbb{R}$ que $f''(x) + e^x f(x)=0$ por cada $x$. Demostrar que $f(x)$ es delimitada como $x \rightarrow +\infty$

He probado varias cosas pero no funcionan, por ejemplo, me di cuenta de que la función tiene una infinidad de max y min de la $x \rightarrow +\infty$, pero eso todavía no es suficiente para demostrar que, alguna idea?

Answer 1

La solución general de la ecuación diferencial es $$ f(x) = A J_0(2 e^{x/2}) + B Y_0(2 e^{x/2})$$ donde $J_0$ $Y_0$ son funciones de Bessel de primera y segunda clase. Su asymptotics son conocidos.

EDIT: si $R(x) = f'(x)^2 + e^x f(x)^2$, muestran que $R'(x) = e^x f(x)^2 \le R(x)$, y por lo tanto $\dfrac{d}{dx} \log R(x) \le 0$.