Goldbach de la conjetura y la diferencia de los cuadrados de los

Question

Alguien vino a mí con la siguiente observación: Si $2n=p+q$ $pq=n^2-m^2$ para un cierto valor de $0<m<n$ (es decir, $m=n-p$$p\le q$).

Ahora afirma que éste es en realidad equivalente a: que el reclamo "Para cada $n$ existe $0<m<n$ tal que $n^2-m^2$ es el producto de dos números primos" es equivalente a la de Goldbach de la conjetura.

1. Es esto cierto? He intentado probar el trivial dirección, pero se quedó atascado.
2. Es bien conocido? He intentado buscar referencias y no podía encontrar nada.

(Estoy tratando de explicarle que esto es un duro conjetura y trivial observaciones son, probablemente, no vale la pena su tiempo, excepto para la recreación).

Answer 1

Si $p$ $q$ son primos y $m$ $n$ son enteros positivos con $pq=n^2-m^2$

A continuación, $pq = (n+m)(n-m)$

$p$ $q$ son primos, por lo que

cualquiera de las $n+m = pq$$n-m=1$, lo que implica $2n = pq+1$

o $n+m=p$$n-m=q$, lo que implica $2n=p+q$

La pregunta que como se indicó no excluye a la primera posibilidad, por lo que la equivalencia no está probada.

Tenga en cuenta que, en la dirección de avance, $n-m=p$, e $p>1$.

Así, por $p$ $q$ diferente la equivalencia trabajo para $0<m<n-1$. Sin embargo, la posibilidad de que $p$ $q$ son de la misma es que luego se perdió, por lo que sería necesario para permitir la $m=0$.

Así que si se nos da $n$ y podemos encontrar una $m$ a satisfacer la versión revisada de la condición, hemos encontrado dos impares, números primos cuya suma de 2n.

Answer 2

Si eres capaz de leer en francés, usted podría estar interesado en buscar en el siguiente enlace, en el que trato de demostrar que los más pequeños de $r$ tal que $n-r$ $n+r$ ambos son primos es tal que $r=O(\log^2 n)$. Si no, voy a tratar de dar una traducción al inglés de este fin de semana, esta noche me siento demasiado cansado para hacerlo. Mientras tanto, cualquier persona es bienvenida a la traducción si es necesario.

Aquí viene el enlace: http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?5,728922