la desigualdad de $ \prod_{n=2}^{\infty}n^{\zeta(n)-1} <\frac{\pi^2+6}{6}$

Question

Deje $ \zeta(s) $ser la de riemann zeta función, entonces $$ \prod_{n=2}^{\infty}n^{\zeta(n)-1} <1+\frac{\pi^2}{6}$$

El problema es difícil, no sé cómo ir comenzó

Muchas gracias!

Answer 1

Este producto es fácil como $\pi$. Tome su logaritmo, utilice el hecho de que el logaritmo de un producto es la suma de los logaritmos, el hecho de que $\ln n^a=a\ln n$,$a=\zeta(n)-1$. Ahora expresar una como una serie infinita, y cambiar el orden de las dos sumas, utilizando diversas identidades relacionadas con polylogarithms, la de Riemann $\zeta$ y Dirichlet $\eta$ funciones. Entonces, exponentiating, obtenemos la desigualdad que quería escribir todo junto.

$$\ln\prod_{n=2}^\infty n^{\zeta(n)-1}=\sum_{n=2}^\infty\ln n^{\zeta(n)-1}=\sum_{n=2}^\infty(\ln n)\cdot\Big(\zeta(n)-1\Big)=\sum_{n=2}^\infty\ln n\cdot\sum_{k=2}^\infty\frac1{k^n}=$$ $$=\sum_{k=2}^\infty\sum_{n=2}^\infty\frac{\ln n}{k^n}<\sum_{k=2}^\infty\sum_{n=2}^\infty\frac n{k^n}=\sum_{k=2}^\infty\frac{2-\tfrac1k}{(k-1)^2}=1+\zeta(2).$$