La intuición detrás longitud de arco de la fórmula

Question

Entiendo que la longitud de arco de la fórmula se deriva de la adición de las distancias entre una serie de puntos sobre la curva, y utilizando el valor medio el teorema de conseguir:

$ L = \int_a^b \sqrt{ 1 + (f'(x))^2 } dx $

Pero hay una intuición aquí me estoy perdiendo? Algo acerca de la toma de la integral de la derivada parece que debería decir algo..

Answer 1

Dividir el intervalo en $n$ a partes iguales, $a = x_0 \lt x_1 \lt \cdots \lt x_n = b$,$x_{i+1} = x_i + \Delta x_i$.

Supongamos que se desea aproximar la curva entre el$(x_i,f(x_i))$$(x_i+\Delta x,f(x_i+\Delta x))$. Usted podría simplemente aproximados con la línea recta entre los dos puntos, cuya longitud es de $$\sqrt{\left( f(x_i+\Delta x) - f(x_i)\right)^2 + (\Delta x)^2}.$$ En la foto de abajo, la línea negra es el gráfico de $y=f(x)$, y la línea verde es la línea que las articulaciones $(x_i,f(x_i))$ en la parte inferior izquierda y $(x_1+\Delta x,f(x_1+\Delta x))$ en la parte superior derecha. Entonces usted tiene que la longitud del arco es aproximada por la suma de las longitudes $$\text{Arc Lenght} \approx \sum_{i=1}^n \sqrt{(f(x_i+\Delta x) - f(x_i)))^2 + (\Delta x)^2}$$ y tomar el límite cuando $n\to \infty$. Por desgracia, la expresión de la suma no es de la forma necesaria para la vista como una suma de Riemann, por lo que no puede convertir ese límite en un límite de sumas de Riemann, y de allí a un integral.

Así que tomamos un enfoque ligeramente diferente. En lugar de la aproximación de la longitud de la curva de $(x_i,f(x_i))$ $(x_i+\Delta x, f(x_i+\Delta x))$con la línea recta entre los dos puntos, vamos a aproximar con la recta tangente a la gráfica de $f$$x_i$, $(x_i,f(x_i))$ hasta el punto de $x_i+\Delta x$. Esta es la línea azul en la imagen de arriba.

Si $\Delta x$ es pequeña, entonces sabemos que la tangente es una muy buena aproximación de la curva en $[x_i,x_i+\Delta x]$, por lo que la línea va a ser una buena aproximación a la longitud de la curva.

Ahora, la línea tangente a $y=f(x)$ a través del punto de $x_i$ está dado por $$y = f(x_i) + f'(x_i)(x-x_i).$$ En $x_i+\Delta x$, la línea pasa a través de $f(x_i) + f'(x_i)\Delta x$. Así que esta línea tangente va de $(x_i,f(x_i))$$(x_i+\Delta x ,f(x_i)+f'(x_i)\Delta x)$. La longitud de la línea entre los dos puntos es \begin{align*} &\sqrt{\Bigl( (x_i+\Delta x) - x_i\Bigr)^2 + \Bigl((f(x_i)+f'(x_i)\Delta x) - f(x_i)\Bigr)^2}\\\ &\quad = \sqrt{ (\Delta x)^2 + \left(f'(x_i)\Delta x\right)^2} \\\ &\quad = \sqrt{\left(1 + \left(f'(x_i)\right)^2\right)\Delta x^2} = \left(\sqrt{1 + (f'(x_i))^2}\right)\Delta x. \end{align*}

La adición de todos estos, se obtiene una aproximación a la longitud de arco: $$\text{Arc Length} \approx \sum_{i=1}^n \left(\sqrt{1 + (f'(x_i))^2}\right)\Delta x.$$ Ahora, estos pueden ser vistos como sumas de Riemann. Así que si tomamos el límite de $n\to\infty$, la aproximación se pone mejor y mejor (porque la tangente se acerca más y más a la curva, dando una mejor aproximación). En el límite, el valor exacto de la longitud del arco, y el límite de las sumas de Riemann se convierte en la integral. Así \begin{align*} \text{Arc Length} &= \lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^n\left(\sqrt{1 + (f'(x_i))^2}\right)\Delta x\\\ &= \int_a^b \sqrt{1+(f'(x))^2}\,dx.{}{}{} \end{align*}

Answer 2

Podría ser de ayuda en lugar de pensar de nuestra función como una parametrización de la curva en el plano. En otras palabras, considerar la curva de $(x(t), y(t))$$t\in[a,b]$. Entonces es claro que el diferencial de $ds$ que se encuentra a lo largo de la curva está dado por $ds=\sqrt{dx^2+dy^2}$.

Ahora integramos $ds$ con respecto al $t$, y la integral se convierte en $\displaystyle \int_a^b{\sqrt{(\frac{dx}{dt})^2+(\frac{dy}{dt})^2}}dt$.

Su fórmula sigue estableciendo $x(t)=t$, e $y(t)=f(t)$.