Expresan $\sin(2x)-8\cos(2x)$ como una sola función seno

Question

Me pide como una parte de una pregunta para expresar $\sin(2x)-8\cos(2x)$ como una sola función seno.

Sé que tiene algo que ver con la identidad trigonométrica $$\sin(a-b)=\sin(a) \cos(b)-\cos(a)\sin(b)$$ but I can't get my head around it because of that $8$ in front of $\cos2x$.

Consejos sobre cómo puedo seguir adelante?

Answer 1

Sugerencia: Nuestra función es $$\sqrt{65}\left(\frac{1}{\sqrt{65}}\sin 2x -\frac{8}{\sqrt{65}}\cos 2x\right).$$ Deje $b$ ser un ángulo cuyo coseno es $\frac{1}{\sqrt{65}}$ y en cuyo seno es $\frac{8}{\sqrt{65}}$, y uso de la identidad que se cita.

Answer 2

Creo que la respuesta que usted va a buscar será en la forma

$$k\sin(2x-b)=k\sin 2x\cos b-k\cos 2x\sin b=\sin 2x-8\cos 2x$$

Igualando coeficientes, obtenemos

$$k\cos b=1$$ $$k\sin b=8$$

A continuación, utilice la identidad trigonométrica $\sin^2x+\cos^2x=1$ a resolver para $k$. Se puede tomar desde aquí?

Answer 3

Esta es otra manera de llegar a Andre respuesta, que probablemente es más fácil de recordar.

Deje $u$, para que $\tan(u)=8$. Entonces

$$\sin(2x)-8\cos(2x) = \sin(2x)-\tan(u)\cos(2x)= \sin(2x)-\frac{\sin(u)}{\cos(u)}\cos(2x) = \frac{\sin(2x)\cos(u)-\sin(u)\cos(2x)}{\cos(u)}$$

Ahora, sabiendo que $\tan(u)=8 \Rightarrow \cos(u)=...$, la recuperación de la respuesta.