Mostrando la igualdad de Cauchy-Schwarz desigualdad

Question

Con $\mathbf{u,v}$ vectores en $\mathbb{R}^n$ espacio euclídeo, la de Cauchy–Schwarz desigualdad es

$$ {\left(\sum_{i=1}^{n} u_i v_i\right)}^2 \leq \left(\sum_{i=1}^{n} u_i^2\right)\left(\sum_{i=1}^{n} v_i^2\right) $$

más allá, dado que el $\mathbf{u}=\lambda\mathbf{v}$, el csi tiene el siguiente aspecto:

$$ {\left(\sum_{i=1}^{n} \lambda v_i v_i\right)}^2 \leq \left(\sum_{i=1}^{n} (\lambda v_i)^2\right)\left(\sum_{i=1}^{n} v_i^2\right) $$

Con la igualdad en la aplicación de la de Cauchy-Schwarz desigualdad sólo si $\mathbf{u,v}$ son lineales dependientes, ¿cómo puedo demostrar que la igualdad se da en este caso? Un inicio sería suficiente, soy bastante nuevo en álgebra lineal

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Editar:
Gracias!
La reescritura de la última línea - siguiendo tu consejo - me sale el siguiente

$$ {\lambda^2\left(\sum_{i=1}^{n} v_i^2\right)}^2 \leq \lambda^2\sum_{i=1}^{n} v_i^2\sum_{i=1}^{n} v_i^2 $$

Bueno no estoy seguro acerca de los siguientes, así que asegúrese de que usted tiene falta de fruta cercanos a tirar de mí:

La cancelación de $\lambda^2$ esto se traduce en

$$ {\left(\sum_{i=1}^{n} v_i^2\right)}^2 \leq \sum_{i=1}^{n} v_i^2\sum_{i=1}^{n} v_i^2 $$

con el inquality está mal, la igualdad se aplica... es que la evidencia es suficiente?

Answer 1

Sugerencias:

$$\left(\sum_{i=1}^n\lambda v_iv_i\right)^2=\lambda^2\left(\sum_{i=1}^n v_i^2\right)^2$$

$$\sum_{i=1}^n (\lambda v_i)^2\sum_{j=1}^n (v_j)^2=\lambda^2\sum_{i=1}^n v_i^2\sum_{j=1}^n v_j^2$$

Answer 2

Expanda la siguiente expresión para obtener una trinom en $\lambda$:

$$\sum_{i=1}^n \left(u_i - \lambda v_i\right)^2$$

Luego, escribe que ya es positivo o cero para todos los valores de $\lambda$, el discriminante de la trinom es negativo o cero. Esto le dará a usted de Cauchy-Schwarz desigualdad. Ahora, la igualdad caso se encuentra cuando el discriminante es cero, es decir, cuando hay algo de $\lambda$ tal que la primera expresión es cero, lo que da una evidente condición entre el$u_i$$v_i$.