Clasificar $\mathbb{Z_6} \times \mathbb{ Z_{24}} / \langle(3,2)\rangle$ según el teorema fundamental de los grupos abelianos finitamente generados

Question

Clasificar $\mathbb{Z_6} \times \mathbb{ Z_{24}} / \langle(3,2)\rangle$ según el teorema fundamental de los grupos abelianos finitamente generados.

El orden de $G/H = 12$

Así que puede ser isomorfo a $\mathbb{Z_3} \times \mathbb{Z_4}$ o $\mathbb{Z_3} \times \mathbb{Z_2} \times \mathbb{Z_2}$

$(0,1)$ tiene un orden de 4, $(1,0)$ tiene un orden de 12, $(1,1)$ tiene un orden de 24

así que elijo un grupo de orden 4, en este caso isomorfo a $\mathbb{Z _3} \times \mathbb{Z_4}$ .

a) ¿Es esto correcto y alguna otra forma mejor de hacerlo?

b) Si utilizara $3a+2b =0$ ¿Cómo puedo encontrar el grupo isomorfo (no estoy muy seguro de cómo hacerlo)?

Gracias por la ayuda amigos

Answer 1

El grupo en cuestión es generado por $a,b$ satisfaciendo $6a=0$ , $24b=0$ , $3a+2b=0$ . En forma de matriz, esto es $$ \pmatrix{ 6 & 0 \\ 0 & 24 \\ 3 & 2 } $$ Su Forma normal de Smith es $$ \pmatrix{ 1 & 0 \\ 0 & 12 \\ 0 & 0 } $$ lo que demuestra que el grupo es $C_{12}$ .

Siguiendo la reducción de Smith (o a mano), obtenemos que el grupo está generado por $a,c$ con $c=a+b$ y luego $a+2c=0$ , $12c=0$ . Por lo tanto, $c=a+b$ es un generador del grupo.