Yo no sé de ningún libro donde este está totalmente cubierto para el caso real, pero he esbozado una adaptación de una común de la prueba dada para el caso complejo. La prueba se basa en una 1911 resultado de Herglotz que ahora se conoce como la Herglotz representación teorema de no-negativo armónico de las funciones de la unidad de disco o en la mitad del plano. (Ver http://en.wikipedia.org/wiki/Herglotz_representation_theorem .)
Un libro dando una prueba de uso de la Herglotz Teorema para el caso complejo es Gerald Teschl el libro de los Métodos Matemáticos de la Mecánica Cuántica. El capítulo 3 es El Teorema Espectral, y la exigencia de Herglotz Teorema se demuestra en el Apéndice a al final de este capítulo, pero sólo en el caso complejo, en donde $\Im F(z) \ge 0$. (Parece que una prueba plena para funciones reales, sólo debe llevarse a cabo en la unidad de disco, y se asigna a la mitad superior del plano -.) Este libro es legítimamente ofrece de forma gratuita para uso privado. Busque la sección de Descarga de la Prof. Teschl página web: http://www.mat.univie.ac.at/~gerald/ftp/book-schroe/index.html . Según el autor: "se concede el Permiso para recuperar y guardar una sola copia para uso personal solamente. Si te gusta este libro y desea apoyar la idea de que las versiones en línea, por favor, considere la compra de este libro."
Voy a esbozar una nueva prueba de que funciona para un densamente definido selfadjoint operador lineal sobre un espacio de Hilbert real $X$. Lo interesante es que la prueba es constructiva, lo que es particularmente interesante para la Mecánica Cuántica. La prueba se basa en la Herglotz representación no negativos armónica de funciones en la mitad superior del plano -; Herglotz' representación es fundamental para un gran cuerpo de holomorphic y armónica de la teoría de la función en la unidad de disco y en la mitad del plano. En su mayoría de forma general, la Herglotz representación tiene para todos los no-negativo armónico de las funciones de la unidad de disco, y, mediante esta representación, uno es capaz de demostrar que todas esas funciones han pointwise una.e. radial límites, y de Poisson integral representaciones con respecto a lo finito positivo de medidas de Borel en el círculo unidad. La versión en la mitad superior del plano-es un poco más sutil, pero la representación es tan completa.
La idea es comenzar con un densamente definido selfadjoint lineal operador $A : \mathscr{D}(A)\subseteq X\rightarrow X$ sobre un espacio de Hilbert $X$, y a considerar
$$
`\frac{y}{(A-xI)^{2}+y^{2}I}" = y((A-xI)^{2}+y^{2})^{-1}.
$$
Esto da lugar a una forma cuadrática $\phi(x,y)$$X\times X$:
$$
\phi(x,y)(a,b) = (y((A-xI)^{2}+y^{2})^{-1}a,b),\;\;\; x,y\in\mathbb{R},\;y > 0,\;\;\; a,b \in X.
$$
Aunque no es inmediatamente obvio, $(A-xI)^{2}$ está densamente definido, selfadjoint y $(A-xI)^{2}+y^{2}I$ es invertible para todos los $y \ne 0$.
Por otra parte, fija $a,b\in X$, el de arriba es un no-negativo armónico de la función de $x, y$ en el abrir de la mitad superior del plano -$U$. Y, se puede demostrar que
$$
\lim_{y\uparrow\infty}y\phi(x,y), (a, a) = \|a\|^{2}, \;\;\; a \in X,\\
\phi(x,y), (a, a) \le \|\|^{2}/y,\;\;\; y > 0.
$$
Estas son las condiciones necesarias y suficientes a fin de que exista un único finito positivo de la medida de Borel $\mu_{a}$ $\mathbb{R}$ tal que
$$
\phi(x,y), (a, a) = \int_{-\infty}^{+\infty}\frac{y}{(t-x)^{2}+y^{2}}d\mu_{a}(t),\;\;\; \mu_{a}(\mathbb{R})=\|\|^{2}.
$$
(Al $\mu_{a}$ es tratado como un no-decreciente acotada de la función en $\mathbb{R}$, este resultado es un caso especial de Herglotz Teorema.) La singularidad de $\mu_{a}$ como una medida de las fuerzas de $\mu_{a}$ a heredar el Paralelogramo de la ley:
$$
\mu_{a+b}(E)+\mu_{a-b}(E)=2\mu_{a}(E)+2\mu_{b}(E),\;\;\; a,b \in X,
$$
para cada subconjunto de Borel $E$$\mathbb{R}$. Y
$$
\mu_{\rho}(E)= \rho^{2}\mu_{a}(E),\;\;\; \rho \in \mathbb{R},\;\en X.
$$
Por lo tanto, por un conjunto de Borel $E$, $a\rightarrow \mu_{a}(E)$ es positivo delimitada forma cuadrática en $X$. Así que no hay una única $P(E) \in \mathscr{L}(X)$ tal que $P(E)$ es acotado, selfadjoint, positivo con $0 \le P(E) \le I$, y satisface $(P(E)a,a)=\mu_{a}(E)$ todos los $a \in X$. Además $P(E)\le P(E')$ si $E\subseteq E'$, e $P(\mathbb{R})=I$.
De ello se sigue que
$$
\left(\frac{y}{(A-xI)^{2}+y^{2}I}a,a\right)=\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{y}{(t-x)^{2}+y^{2}}d(P(t)a,a),\;\;\; y > 0,\; x\in\mathbb{R},\ ;\; \en X.
$$
Básicamente, esta es una de Poisson representación de $y/((A-xI)^{2}+y^{2}I)$. Uno puede integrar de forma explícita (creo $\tan^{-1}$) para mostrar que $P$ se determina a partir de $A$ a través de la integral
$$
\lim_{y\downarrow 0}\frac{1}{\pi}\int_{r}^{s}\left(\frac{y}{(A-xI)^{2}+y^{2}I}a,b\right)dt = \frac{1}{2}(P[r,s]a,b)+\frac{1}{2}(P(r,s)a,b).
$$
El uso de este, es posible demostrar que el $P$ es el espectral deseada medida para $A$. Si $F$ es un compacto respaldado función continua en $\mathbb{R}$, entonces las propiedades de la integral de Poisson dar una fórmula explícita para el cálculo funcional:
$$
F(A)=\lim_{y\downarrow 0}\frac{1}{\pi}\int_{-\infty}^{\infty}f(x)y((A-xI)^{2}+y^{2})^{-1}dx.
$$
Si $F$ tiene un par de discontinuidades, tales como al $F=\chi_{[a,b]}$, luego el de arriba, todavía existe en el fuerte del operador de la topología, pero no necesariamente en el uniforme del operador de la topología. Por supuesto, el resultado final es
$$
x \in \mathscr{D}(A) \ffi \int_{-\infty}^{\infty}\lambda^{2}d(P(t)x,x) < \infty,
$$
y, en ese caso,
$$
Ax = \int \lambda dP(\lambda)x,\;\;\; x \in \mathscr{D}(A).
$$
