Tres tiradas iguales de dado en una fila en un $3 \times 3$ array

Question

Si se tiraran 9 dados de seis caras consecutivamente y se mostraran en un $3 \times3 $ formato, ¿cuál es la probabilidad de que se produzca una línea de 3 del mismo número? Considerando las 8 formas posibles; 3 horizontalmente, 3 verticalmente y 2 diagonalmente.

El siguiente ejemplo muestra una línea de tres en diagonal; $A_1, B_2$ y $C_3$ .

$$ \begin {array}{ccc} \begin {array}{ccc} A_1&A_2&A_3 \\B_1 &B_2&B_3 \\C_1 &C_2&C_3 \end {array} & \to & \begin {array}{ccc} 2&4&5 \\ 4&2&3 \\ 6&6&2 \end {array} \end {array} $$

Cuáles son las probabilidades de ganar de los jugadores dado que sólo se necesita una línea de tres para ganar. ¡Muchas gracias a la persona inteligente que puede resolver esto y posiblemente explicar en términos simples el proceso de resolverlo!

¡Muy agradecido!

\=)

Answer 1

Creo que es bastante difícil llegar aquí con una fórmula explícita, haciendo argumentos de simetría o independencia. Hay mucho que enumerar y muchas posibilidades de equivocarse.

Sin embargo, el problema es lo suficientemente pequeño como para resolverlo por la fuerza bruta, enumerando todas las posibilidades. Hice eso y se me ocurrió el siguiente código en Python/numpy (donde usé sólo un argumento de simetría para reducir el tiempo de ejecución por un factor de $6$ es decir, que el último dado siempre muestra un $1$ ):

from numpy import *
def cvec(v):
    return all(v==v[0])

def cmat(A):
    return (cvec(A[:,0]) or cvec(A[:,1]) or cvec(A[:,2]) or 
            cvec(A[0,:]) or cvec(A[1,:]) or cvec(A[2,:]) or
            cvec(diag(A)) or cvec(diag(A[:,::-1])))

def arrinc(A,i=0,j=0):
    A[i,j]+=1
    if A[i,j]==7:
        A[i,j]=1
        i+=1
        if i==3:
            i=0
            j+=1
        arrinc(A,i,j)

N=6**8
m=0
A=ones([3,3])
for i in range(N):
    if cmat(A):
        m+=1
    arrinc(A)
print m,N,1.0*m/N

El cómputo tomó alrededor de $4-5$ minutos en mi portátil con los siguientes resultados: Hay $N=6^8=1679616$ posibilidades en absoluto con $m=341036$ resultados favorables, dando una probabilidad de $p \approx0.203044029111 $

Answer 2

Estoy de acuerdo con Elmar en que una simple forma cerrada parece poco probable. Sin embargo, puedes aplicar algunas matemáticas para realizar un cálculo más eficiente. Este código calcula el número de configuraciones ganadoras usando inclusión-exclusión considerando todo $2^8=256$ subconjuntos de la $8$ líneas, calculando el número de valores que pueden ser elegidos independientemente si todas las líneas del subconjunto son constantes, y sumando las contribuciones firmadas. El resultado coincide con el de Elmar,

$$ p= \frac {2046216}{6^9}= \frac {2046216}{10077696}= \frac {85259}{419904} \approx0.203\ ;. $$

Esto también podría hacerse, por ejemplo, para una $5 \times5 $ cuadrado, donde la enumeración de la fuerza bruta sería inviable.