Ser isomorfo como representaciones de un grupo G

Question

Deje $G$ ser un grupo finito. ¿Qué se entiende por dos finito dimensionales espacios vectoriales (más $\mathbb{C}$) $V$ y $W$ "isomorfo como representaciones de la $G$"? Para demostrar que tenemos un isomorfismo, no es suficiente para mostrar que sólo $\dim V = \dim W$?

Answer 1

No, no basta con que la representación de los espacios tienen igual dimensión. Lo que normalmente se entiende por isomorfismo de las representaciones, es que existe una equivariant isomorfismo entre la representación de los espacios, es decir, uno que también conserva la acción de la $G$. En otras palabras, dos representaciones de $\pi: G \to GL(V)$ $\pi': G \to GL(W)$ son isomorfos si existe un isomorfismo $A: V \to W$ tal que $A(\pi(g)v) = \pi'(g) Av$.