URSS Examen de problema

Question

He obtenido este problema a partir de aquí.

Un coche se inicia desde el punto de $A$ hacia $B$, al mismo tiempo, como una motocicleta comienza a partir de $B$ $A$(pero con menor velocidad). En el momento en que se reúnen, de una segunda motocicleta comienza a partir de $B$ y también cumple con el coche. La distancia entre los dos lugares de reunión de la es $\frac{2}{9}$ la distancia entre el$A$$B$. Tenía la velocidad del coche sido menos por $20$km / h, la distancia entre los dos puntos habría sido $72$km y el primer encuentro habría tenido lugar $3$ horas después de que el coche comenzó a partir de $A$. Suponiendo que los dos motocicletas tienen la misma velocidad, encontrar la distancia entre los $A$$B$.

Empecé a usar este método. Primero sé que el coche y la primera motocicleta deberán recorrer una distancia $i$ $3$ horas. Deje $v_m$ denotar la velocidad de la motocicleta y $v_c$ denotar la velocidad del coche. A continuación, $i=(v_c-20)(3)$$i=(v_m)(3)$. Sabemos que la distancia entre los dos puntos de encuentro es $72$ y después de la primera reunión, tenemos dos ecuaciones: $i+72=(v_c-20)(3+t)$ $d-i-72=(v_m)(3+t)$ donde $d$ es la distancia entre el$A$$B$.

Me pregunto si incluso estoy en el camino correcto con este problema. O, es que la respuesta es tan obvia como señalar que ese $72$ $2/9$ de la distancia.

Answer 1

$S$ - longitud de ruta de acceso
$v_m$ - la velocidad de la motocicleta
$v_c$ - velocidad del coche (en el 1er caso)

Caso 1: la velocidad del vehículo es $v_c$
$t_1$ - tiempo de la 1ª reunión
$t_2$ - tiempo entre la 1ª y la 2ª reunión

Caso 2: la velocidad del vehículo es $v_c-20$
$t_3$ - tiempo de la 1ª reunión
$t_4$ - tiempo entre la 1ª y la 2ª reunión

Acaba de expresar todas las declaraciones con las ecuaciones
(y verificar su lógica 3-4 veces):

$$v_c.t_1 + v_m.t_1 = S$$

$$v_c.t_2 + v_m.t_2 = S - v_c.t_1$$

$$v_c.t_2 = \frac{2}{9} S$$

$$(v_c-20).t_3 + v_m.t_3 = S$$

$$(v_c-20).t_4 + v_m.t_4 = S - (v_c-20).t_3$$

$$(v_c-20).t_4 = 72$$

$$t_3 = 3$$

Ahora tenemos 7 ecuaciones y 7 variables, derecho?
Por lo que el resto debe ser más o menos rutinario.

EDITAR:

El resto no es de rutina en todos. Uno puede conseguir fácilmente hundido en los cálculos (si uno es capaz de resolver de forma manual, como lo hice yo) y por lo tanto perder demasiado tiempo para decir lo menos.

OK, tengo 4 diferentes soluciones o caminos de los cuales 3 se convirtió en imposible/no válido debido a que los hechos son los que son implícitamente implícita o explícitamente dada en el enunciado del problema (la declaración de manera implícita que el $v_c-20 \geq0$, y también se dice de forma explícita "la motocicleta tiene menor velocidad").
La única solución válida es la siguiente:
$v_c = 80, v_m=40, t_4 = 6/5, t_3 = 3, S = 300$.

Por cierto, este problema no parece demasiado recreativo :) que es de esperar teniendo en cuenta su origen. Basado en mi modesta experiencia, la idea detrás de estos problemas es que todos, pero el mejor de los candidatos obtendría hundido en los cálculos, y haría perder demasiado tiempo en este problema, y por lo tanto se quedan con muy poco tiempo para los demás problemas. Así que la idea es poner a prueba a los candidatos de matemáticas de técnicas demasiado (todos los alumnos de 6to grado, puede escribir las ecuaciones anteriores, pero el resto no es tan fácil en absoluto). Pero, por otro lado, a partir de los 5 problemas que esto parece ser la más sencilla tal vez :) no Es algo fácil de examen, para decir lo menos.

Answer 2

Deje $x$ ser la distancia entre el$A$$B$, en kilómetros. Deje $h$ el número de horas a partir de cuando el coche empieza a cuando cumple con la primera motocicleta. Deje $bx$ ser la distancia recorrida por la motocicleta en $h$ horas. Durante la primera $h$ horas, a continuación, el automóvil recorre una distancia de $(1-b)x$. La distancia entre el coche y el segundo de la motocicleta es, por tanto, $bx$ en el instante en que el segundo de la motocicleta comienza; se necesita un adicional de $bh$ horas para que ellos se encuentran, durante el cual la segunda motocicleta recorre una distancia de $b^2x$ y el automóvil viaja $(1-b)bx$.

Pero el enunciado del problema dice que el automóvil recorre una distancia de $\frac29 x$ entre la reunión de las dos motos, por lo $(1-b)bx = \frac29 x.$ Dividiendo por $x$, $$(1-b)b = \frac29.$$

Las dos posibles soluciones de esta ecuación cuadrática son $b = \frac13$ y $b = \frac23.$ Rechazamos $b = \frac13$ debido a que la motocicleta viaja más rápido que el coche. (¿Por qué digo esto? Ver mis comentarios en el final).

Ahora, en lugar de cambiar la velocidad del coche, voy simplemente a enviar un segundo coche, al mismo tiempo, viajando $20$ km / h más lento. El segundo coche se encuentra la primera motocicleta después de $3$ horas, momento en el que el primer coche es $60$ km ($20$ km / h veces $3$ horas) por delante del segundo coche. Recordemos que la motocicleta se reúne el primer coche en $h$ horas y el segundo coche en $3$ horas y que los viajes en moto dos veces más rápido como el primer coche. Entre el $h$ horas y $3$ horas, por lo tanto, los viajes en moto $40$ km mientras que el primer automóvil viaja $20$ km.

Deje $ax$ ser la distancia recorrida por el segundo coche en $3$ horas de trabajo, la distancia de $A$ a la reunión de la segunda coche y la primera motocicleta. La motocicleta se reúne el primer coche de $40$ km más lejos de $A$, en $\frac13 x$ km de $A$, por lo que $ax + 40 = \frac13 x;$ , equivalentemente, $$x = \frac{40}{\frac13 - a}.$$

En este punto, supongo que la segunda motocicleta ya ha viajado $40$ km, la misma como la primera motocicleta viajó desde el encuentro en el primer coche. Que es, supongo que la segunda motocicleta siempre comienza $h$ horas después de la primero, independientemente de la velocidad del coche. (Ver mis comentarios de abajo para una explicación más detallada.) En el instante en que el segundo coche se encuentra la primera motocicleta, por lo tanto, la distancia entre las motocicletas es $\frac23 x$, tal y como fue cuando la primera motocicleta se reunió con el primer coche y el segundo motocicleta comenzó.

El segundo coche cubierto $ax$ km en el momento de la primera motocicleta viajado $(1-a)x$ km, por lo que su velocidad es $\frac{a}{1-a}$ o de la moto, la velocidad. Entre el instante en que cuando se cumple la primera motocicleta y cuando se cumpla con el segundo de la motocicleta, el segundo automóvil viaja $\frac23 ax$ km mientras que la segunda viajes en moto $\frac23(1-a)x$ km. Pero también se nos dice que el automóvil viaja $72$ km entre estos dos eventos, por lo $\frac23 ax = 72,$ y $$x = \frac{108}{a}.$$

Ahora tenemos dos maneras diferentes de expresar $x$ en términos de $a$; establecer la igualdad: $$\frac{40}{\frac13 - a} = \frac{108}{a}.$$

Cruz-multiplicando, obtenemos $40a = 108\left(\frac13 - a\right),$ y la solución de esta ecuación lineal en la $a$ rendimientos $a = \frac{9}{37}.$ Por lo tanto, $\frac13 - a = \frac{10}{111}.$ Ya anteriormente hemos encontrado que $x = \frac{40}{\frac13 - a},$ hemos

$$x = 444.$$

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La comprobación de esta respuesta: de $x = 444$ tenemos $ax = 108$, por lo que el segundo coche viaja $36 kph$, el primer coche $56$ km / h, y las motos $112 kph$. También encontramos $\frac13 x = 148$; verificar que $148 - 108 = 40$, el la distancia entre el lugar donde la primera motocicleta cumple el primer coche y de donde se reúne el segundo coche. En $3$ horas la distancia entre el coche de segunda y segunda de la motocicleta es $444 - 108 - 40 = 296$ km, que es la distancia combinada de viajar en $2$ horas: los viajes en moto $224$ km y el coche se mueve $296 - 224 = 72$ km.

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Algunas observaciones sobre la interpretación del problema, lo cual me pareció menos claramente indicó que me gustaría. (Algo perdido en la traducción del ruso, tal vez?)

Para las velocidades relativas del automóvil y de la motocicleta, He leído el problema parafraseando como, "Un coche se inicia al mismo tiempo como una moto, pero con menor rapidez." Es decir, una frase entre paréntesis es equivalente a una frase por comas, y el carro sigue siendo el sujeto de la cláusula principal de la frase. La motocicleta sería más lento si el problema había dicho, "Un coche se inicia desde el punto a hacia B. al mismo tiempo, una motocicleta comienza a partir de B a A (pero con menor velocidad)."

Para el caso de que el automóvil recorrió $20$ km / h más lento, Tenía dificultad para decidir si la segunda motocicleta debe comenzar $3$ horas después de la primera motocicleta (en el instante en que la motocicleta se reúne el coche) o si el segundo de la motocicleta del tiempo de partida es independiente de la velocidad del coche, y sólo casualmente se produce $h$ horas después de la primera motocicleta comienza. Inicialmente, me llevó a la primera interpretación, que conduce a la respuesta $x = \frac{600}{3\sqrt{34} - 16} \approx 401.914.$ Escribí la segunda interpretación anterior, porque el enunciado del problema no dicen que la segunda motocicleta iba a salir más tarde si el coche era más lento, y también porque la segunda interpretación da una prolija respuesta que uno puede comprobar fácilmente sin el uso de una calculadora.