Lo que es tan sorprendente o elegante acerca de este teorema?

Question

Acabo de leer un ensayo escrito por un matemático (cuyo nombre no recuerdo) que visitaron TIFR en la India y él estaba escribiendo acerca de sus experiencias matemáticas durante la visita. En su ensayo el matemático había escrito que él fue sorprendido por la elegancia y la belleza de la siguiente teorema.

Deje $a_i$ ser números enteros y

$$ f(x) = x^n + a_{n-1}x^{n-1} + a_{n-2}x^{n-2} + \cdots + a_2 x^2 + a_1 x + a_0, $$

a continuación, $$\displaystyle\max_{x\in(-2,2)} |f(x)| \ge 2.$$

Preguntas:

• Lo que es tan sorprendente o elegante?
• Estoy buscando una prueba
• Cualquier referencia a este teorema en la literatura?

Nota: estoy tratando de recordar y buscar en el ensayo. Voy a actualizar mi post con su enlace si soy capaz de encontrarlo.

Answer 1

Por el Teorema de Chebyshev (ver el Teorema de Chebyshev sobre real polinomios: ¿por Qué sólo los polinomios de Chebyshev lograr la igualdad en la desigualdad?), si $p(x)$ es un polinomio real de grado $n\geq 1$ con los principales coeficiente de $1$ $$\max_{x\in [-1,1]}|p(x)|\geq \frac{1}{2^{n-1}}.$$ Ahora $p(x):=f(2x)/2^n$ es un polinomio con las principales coeficiente de $1$ y de ello se sigue que $$\max_{x\in [-2,2]}|f(x)|=\max_{x\in [-1,1]}|f(2x)|=2^n\cdot\max_{x\in [-1,1]}|p(x)|\geq \frac{2^n}{2^{n-1}}=2.$$

P. S. por lo que puedo ver, aquí no necesitamos que los coeficientes $a_i$ tienen que ser números enteros.