Supongamos $\{f_n\}$ son Lebesgue medibles funciones en $[0,1]$, de tal manera que $\int_0^1 |f_n|\,d\mu=1$ todos los $n$, e $f_n\to 0$ en casi todas partes.
He probado: dado $\epsilon>0$, existe un Lebesgue meausurable $E\subseteq [0,1]$ tal que $\mu(E)<\epsilon$ y $$\lim_{n\to\infty}\int_E |f_n|\,d\mu=1$$ (using Egorov's Theorem, where $E$ turns out to be $[0,1]\setminus F$ for some closed $F$ en el que la convergencia es uniforme.)
Por lo tanto, o de lo contrario, ¿cómo podemos demostrar que existe una larga $f_{n_k}$ $f_n$ y secuencias de funciones medibles $g_k$ $h_k$ tal que
(i) $f_{n_k}=g_k+h_k$ todos los $k$
(ii) $g_kg_j=0$.e. para $k\neq j$
(iii) $\lim_{k\to\infty}\int_0^1|h_k|\,d\mu=0$
Condiciones muy duras en mi opinión es (ii). Me las arreglé para encontrar un candidato que satisfaga a ambos (i) y (iii), pero no (ii). Deje $f_{n_k}$ ser una larga tal que $\int_E |f_{n_k}|\,d\mu>1-\frac 1k$. Deje $g_k=f_{n_k}\chi_E$ $h_k=f_{n_k}\chi_F$ donde $E=[0,1]\setminus F$.
Entonces (i) $f_{n_k}=g_k+h_k$ está satisfecho.
$\lim_{k\to\infty}\int_0^1 |h_k|\,d\mu=\lim_{k\to\infty}\int_F |f_{n_k}|\,d\mu=1-\lim_{k\to\infty}\int_E |f_{n_k}|\,d\mu=1-1=0$. Así que (iii) se cumple.
Sin embargo, la condición (ii) permanece insatisfecha.
Gracias por la ayuda.
