Monotonicidad completa de una secuencia relacionada con la tetración

Question

Dejemos que $\Delta$ denotan el diferencia de avance sobre una secuencia: $$\Delta s_n = s_{n+1} - s_n,$$ y $\Delta^m$ denotan la diferencia hacia delante del orden $m$ : $$\Delta^0 s_n = s_n, \quad \Delta^{m+1} s_n = \Delta\left(\Delta^m s_n\right).$$ Decimos que una secuencia $s_n$ es completamente monótono si $$(-1)^m \Delta^{m} s_n > 0,$$ es decir, la secuencia $s_n$ es positivo y decreciente, sus primeras diferencias $\Delta s_n$ son negativos y crecientes (es decir, decrecientes en valores absolutos), sus segundas diferencias $\Delta^2 s_n$ son positivos y decrecientes (como la secuencia $s_n$ mismo), y así sucesivamente. Así, la secuencia de segundas diferencias de una secuencia completamente monótona es también completamente monótona (y también lo es la secuencia de sus diferencias de cualquier orden par).

Dejemos que $a$ sea un número real en el intervalo $1<a<e^{1/e}$ . Sea ${^n a}$ denotan tetration : $${^0 a}=1, \quad {^{(n+1)} a} = a^{\left({^n a}\right)}.$$ La secuencia ${^n a}$ es estrictamente creciente y converge al límite $${^\infty a} = \lim_{n\to\infty}\left({^n a}\right) = \frac{W(-\ln a)}{-\ln a},$$ donde $W(x)$ es el Lambert $W$ -función . Sea $s_n = {^\infty a} - {^n a}$ . Parece que la secuencia $s_n$ es completamente monótona. ¿Cómo podemos demostrarlo?

Answer 1

Así que de mis comentarios anteriores, $\lambda$ es el multiplicador en el punto fijo. $a^{L+x}=L+\lambda x + O x^2\;\;\ln_a(L+x) = L +\frac{x}{\lambda} + O x^2 $ $$L= \frac{W(-\ln a)}{-\ln a}\;\;\;\lambda=\ln(L)$$

Para las bases en cuestión $1<L<e,\;\;0<\lambda<1$ . Entonces una solución aproximada para la superfunción para valores grandes de z es $$S_1(z)=L-\lambda^z=L-e^{z \ln(\ln(L))}$$

$S_1(x)$ es una función analítica completamente monótona en el eje real, donde las derivadas Impares son todas >0, y las derivadas pares son todas <0, lo que utilizaremos como definición de función analítica completamente monótona. Esto se debe a que $\ln(\ln(L))<0$ para todas las bases en cuestión; y lo sustituimos en la serie de Taylor para exp(z). $\ln_a(x)$ también es completamente monótona a partir de la serie de Taylor de $\ln(x)$ para las bases de la Op, en el dominio $0<x<L$ , que es el dominio que utilizaremos en las iteraciones siguientes. A partir de ese $S_1(z)$ estimación, generamos una secuencia de estimaciones cada vez mejores, que convergen a la solución de la función de Schröder por el lema1 que se describe a continuación.

$$S_n(z)=\log_a(S_{n-1}(z+1))$$ Podemos demostrar que $S_n(x)$ es completamente monótona si $Re(x+1)>S^{-1}_{n-1}(0)>$ ; por el lema2, que consiste en que la composición de dos funciones analíticas completamente monótonas es completamente monótona en el rango apropiado. En el límite, $S(x)$ es completamente monótona en el eje real si $Re(x+1)>S^{-1}(0)$

$$S(z) = \lim_{n\to\infty} S_n(z)\;\;\;S(z+1)=a^{S(z)} \;\;\; \lim_{x\to\infty}S(x)=L$$

lema 1, la secuencia de $S_n(z)$ funciones; $S(z)$ converge a la superfunción generada a partir de la ecuación de Schröder. Lo demostraría generando estimaciones de error a partir de la Superfunción generada a partir de la ecuación formal inversa de Schröder, que es periódica; $p=\frac{2\pi i}{\ln{\lambda}}$ así que $S(z)$ puede expresarse como una serie analítica de Fourier $S(z)=L+\sum a_n(-1)^n\lambda^{n z}$ donde $a_1=1$ y $a_n$ son los coeficientes de la serie de Taylor de la función inversa de Schröder y $S(z)$ converge si $\Re(z+1)>S^{-1}(0)\;\;$ fin del lema 1

Luego desplazamos por una constante para obtener la función sexp deseada. $$\text{sexp}_a(z)=S(z+k)\;\;\;k=S^{-1}(0)+1\;\;\;S(k)=1$$

Finalmente, $\text{sexp}_a(z)$ es completamente monótona en el eje real si z>-2. Entonces la secuencia $^n a=\text{sexp}_a(n)$ es también una secuencia completamente monótona por el lema3 de que si una función analítica es completamente monótona en un rango dado, entonces una secuencia de muestras igualmente espaciadas de esa función en ese rango es también completamente monótona.

Entonces, si probamos el lema(1,2,3), tenemos el resultado de Ops. El Lemma1 vendría de un buen libro de dinámica compleja, el libro de Lennart Carlson, sería el lugar para empezar, pero lo he visto mencionado antes. Los otros dos lemas deberían ser bien conocidos en la teoría de las funciones monótonas. Las soluciones de las superfunciones de Schröder de valor real suelen ser totalmente monótonas, por lo que es de suponer que se conocen.

Existe un posible enfoque alternativo al lema1, que $S(x)$ es completamente monótona. Como se ha señalado anteriormente, la solución de la superfunción formal puede expresarse como una serie de Fourier: $S(z)=L+\sum a_n(-1)^n\lambda^{n z}$ Entonces $a_1=1;$ y por observación $a_n(-1)^n<0 \;\forall n$ . Esta secuencia conduce inmediatamente a una solución completamente monótona para $S(z)$ en el eje real aunque no he intentado probar la observación.

Answer 2

Esta respuesta es un intento de explicar el lema1. ¿Por qué es $S_1(z)$ la aproximación inicial correcta en la respuesta anterior, y por qué la secuencia converge? $$S_1(z)=L-\lambda^z=L-e^{z \ln(\ln(L))}\;\;\;S_n(z)=\log_a(S_{n-1}(z+1))$$

Partiendo de las ideas de la respuesta anterior, junto con la definición de la función inversa de Schröder, que llamaremos $h(z)$ , donde el deseado $S(z)$ se deduce directamente de $h(z)$ de la siguiente manera: $S(z)=\sum a_n(-1)^n\lambda^{n z}\;\;$ donde $a_n$ son los coeficientes de la serie de Taylor de $h(z)$ . Empezamos con el punto fijo L de la respuesta anterior. $\ln_a(L+z) = L +\frac{z}{\lambda} + O z^2\; $ y el multiplicador en el punto fijo es $\lambda$ . $$L= \frac{W(-\ln a)}{-\ln a}\;\;\;\lambda=\ln(L) = \ln(a) \cdot L; \;\:1<L<e;\;\;0<\lambda<1$$

$$h(z)=\sum_{n=0}^{\infty}a_n z^n\;\;\;a_0=L;\;a_1=1\;\;\;h(\lambda z) = a^{h(z)}\;\;\;\ln_a(h(\lambda z))= h(z)$$ $$S(z) = h(\lambda^z)\;\;\;S(z+1)=a^{S(z)}\;\;\;\lim_{\Re(z) \to \infty}S(z)=L$$

lema4: si todos los coeficientes de la serie de Taylor impar de $h(z)$ en z=0 son positivos, y todos los coeficientes de la serie de Taylor pares son negativos, entonces $S(z)$ es totalmente monótona, ya que $0<\lambda<1$ y $\lambda^{nz}=-\exp(n\ln(\lambda) z)$ es totalmente monótona para todo n, ya que $\ln(\lambda)$ es un número negativo, y $a_n(-1)^n$ también es un número negativo, por lo que $S(z)$ es totalmente monótona en ese caso.

Existe una solución formal para $h(z)$ como la inversa de la ecuación de Schröder. Pero, alternativamente, partimos de $h_1(z)=L+z$ e iterar como sigue.

$$h_{m+1}(z)=\ln_a(h_m(\lambda z))\;\;\; h(z)=\lim_{m\to\infty}h_m(z)\;\;\;h(z)= \ln_a(h(\lambda z))$$

$$h_2(z)=\ln_a(h_1(z)) =\ln_a(L+\lambda z) $$ $$\ln_a(L+z) =\ln_a(L(1+z/L)) = L + \sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}z^n}{n \cdot \ln(a) \cdot L^n}$$ $$h_2(z)= \ln_a(L+\lambda z) = L + \sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1} \cdot \lambda \cdot z^n}{n \cdot \ln(a) \cdot L^n} $$ $$h_2(z)= \ln_a(L+\lambda z) = L + \sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1} \cdot z^n}{n \cdot L^{n-1}} \;\;\; a_0=L; a_1=1$$

Observe que $\ln_a(z)$ tiene todos los coeficientes de la serie de Taylor Impares positivos, y todos los coeficientes de la serie de Taylor pares negativos, tal como se desea. Obsérvese que $h_2(z)$ tiene todos los coeficientes de la serie de Taylor Impares positivos, y todos los coeficientes de la serie de Taylor pares negativos, tal como se desea. De forma similar al lema2, la composición $h_3(z)=\ln_a \circ h_2(\lambda z)$ tiene la misma propiedad, por lo que $h_3(z)$ tiene todos los coeficientes de la serie de Taylor Impares positivos, y todos los coeficientes de la serie de Taylor Pares negativos, tal como se desea. Y por inducción, la función $h_m(z)$ tiene todos los coeficientes de la serie de Taylor Impares positivos, y todos los coeficientes de la serie de Taylor Pares negativos, tal y como se desea, por lo que esto también es cierto para $h(z)$ . lema5: el $h_m(z)$ converge la secuencia, lo que se ha demostrado en la literatura de la dinámica compleja. Además, nótese que al iterar desde $h_{m+1}$ de $h_m$ que $a_0=L$ y $a_1=1$ para las series de Taylor de cada versión de $h_m$ . Esta aproximación es idéntica pero un poco más rigurosa que las iteraciones de la respuesta anterior, ya que muestra directamente la estabilidad al iterar $h_n(z)$ , lo que facilita la demostración de la convergencia del lema5. Digamos que los valores áureos de $a_n$ para la función formal inversa de Schröder son $g_n$ y estamos haciendo m iteraciones para generar $h_m(z)$ . Entonces, por observación, $\forall n>2, \;a_n=g_n+O\lambda^{m+n}\;$ después de m iteraciones. Formalizar esta estimación del error sería una forma de demostrar que el $h_m(z)$ converge a $h(z)$ y que el lema5 es válido.

Por tanto, si el lema2, el lema4 y el lema5 se cumplen, la conclusión es que $S(z)$ es totalmente monótona en el eje real en su rango de analiticidad, donde $\Re(z+1)>S^{-1}(0)$

Finalmente, como en la respuesta anterior, generamos la función sexp deseada. $$\text{sexp}_a(z)=S(z+k)\;\;\;k=S^{-1}(0)+1\;\;\;\text{sexp}_a(z)=a^{\text{sexp}(z-1)}$$

$\text{sexp}_a(z)$ es completamente monótona en el eje real si z>-2. Entonces la secuencia $^n a=\text{sexp}_a(n)$ es también una secuencia completamente monótona por el lema3 de que si una función analítica es completamente monótona en un rango dado, entonces una secuencia de muestras igualmente espaciadas de esa función en ese rango es también completamente monótona.