Aproximación de la función Gamma de bajo valor

Question

Es bien sabido que $\Gamma(u) \stackrel{u \to 0}{\sim} \frac{1}{u}$.

Estoy buscando información más precisa sobre el comportamiento de $\Gamma(x)$ al $x$ es pequeña, es decir: $x\to 0$.

Mi pregunta entonces es, ¿hay exactos (de bajo valor) de las desigualdades de la función Gamma ?

Cualquier otra información sobre el comportamiento también es muy bienvenida.

Answer 1

Usando el desarrollo en serie de Taylor alrededor de $u=0$, usted debe conseguir $$\Gamma(u)=\frac{1}{u}-\gamma +\frac{6 \gamma ^2+\pi ^2}{12} u+S\left(u^2\right)\tag 1$$

Para $u=\frac 1 {10}$, esta muy limitado expresión daría $\approx 9.52169$, mientras que la "exacta" valor sería de $\approx 9.51351$.

El error es inferior a $0.1$% cualquier $0\lt x\leq \frac 1 {10}$.

Editar

Es posible mejorar un poco la anterior aproximación builging el más simple Pade approximant de $u\, \Gamma(u)$$u=0$. Esto llevaría a $$\Gamma(u)=\frac 1 u \times\frac{12\gamma+(\pi^2-6\gamma^2)u}{12\gamma+(\pi^2+6\gamma^2)u}\tag 2$$ Using $(1)$ leads to overestimates while using $(2)$ leads to underestimates which makes the average much better. So, a better approximation could be $$\Gamma(u)=\frac 1 {2u}\left(1-\gamma u+\frac{1}{12} \left(6 \gamma ^2+\pi ^2\right) u^2+\frac{12\gamma+(\pi^2-6\gamma^2)u}{12\gamma+(\pi^2+6\gamma^2)u} \right)\tag 3$$ for which the error is lower than $0.01$% for any $0\lt x\leq \frac 1 {10}$.

También podríamos considerar $$\Gamma(u)=\alpha\left(\frac{1}{u}-\gamma +\frac{6 \gamma ^2+\pi ^2}{12} u \right)+(1-\alpha)\left(\frac 1 u \times\frac{12\gamma+(\pi^2-6\gamma^2)u}{12\gamma+(\pi^2+6\gamma^2)u}\right)$$ and optimize the $\alpha$ parameter. For the consider range $\alpha\aprox 0.44$ seems to be quite good leading to a maximum error lower than $0.0002$% por encima de ese rango.

Si tenemos en cuenta $0< x \leq 1$, $\alpha\approx 0.35$ conduce a errores menor que $0.6$% en toda la gama.

También podríamos mostrar que la Padé approximant de $u\,\Gamma(u)$ conducir a errores relativos inferiores a $1$% para el rango de $-0.625 \leq x \leq 1.168 $.

Answer 2

$\Gamma(z)$ tiene un polo en cero, con Laurent de la serie $$ \frac{1}{z}-\gamma+ \left( {\frac {{\pi }^{2}}{12}}+{\frac {{\gamma}^{2} }{2}} \right) z+ \left( -{\frac {\zeta \left( 3 \right) }{3}}-{\frac {{\pi }^{2}\gamma}{12}}-{\frac {{\gamma}^{3}}{6}} \right) {z}^{2}+ \left( {\frac {{\pi }^{4}}{160}}+{\frac {\zeta \left( 3 \right) \gamma}{3}}+{\frac {{\pi }^{2}{\gamma}^{2}}{24}}+{\frac {{\gamma}^{4} }{24}} \right) {z}^{3}+ \left( -{\frac {\zeta \left( 5 \right) }{5}}- {\frac {{\pi }^{4}\gamma}{160}}-{\frac {\zeta \left( 3 \right) {\pi } ^{2}}{36}}-{\frac {\zeta \left( 3 \right) {\gamma}^{2}}{6}}-{\frac {{ \pi }^{2}{\gamma}^{3}}{72}}-{\frac {{\gamma}^{5}}{120}} \right) {z}^{4 }+ \left( {\frac {61\,{\pi }^{6}}{120960}}+{\frac {\zeta \left( 5 \right) \gamma}{5}}+{\frac {{\pi }^{4}{\gamma}^{2}}{320}}+{\frac { \left( \zeta \left( 3 \right) \right) ^{2}}{18}}+{\frac {\zeta \left( 3 \right) {\pi }^{2}\gamma}{36}}+{\frac {\zeta \left( 3 \right) {\gamma}^{3}}{18}}+{\frac {{\pi }^{2}{\gamma}^{4}}{288}}+{ \frac {{\gamma}^{6}}{720}} \right) {z}^{5}+O \left( {z}^{6} \right) $$ De curso $\gamma$ es la constante de Euler y $\zeta$ es Riemann zeta función.

Me pregunto si se ve mejor si los $\pi^2$ $\pi^4$ términos se escriben en términos de $\zeta(2)$$\zeta(4)$, y así sucesivamente?

$$ \frac{1}{z}-\gamma+ \left( {\frac {\zeta \left( 2 \right) }{2}}+{\frac { {\gamma}^{2}}{2}} \right) z+ \left( -{\frac {\zeta \left( 3 \right) }{3}}-{\frac {\zeta \left( 2 \right) \gamma}{2}}-{\frac {{\gamma}^{3} }{6}} \right) {z}^{2}+ \left( {\frac {9\,\zeta \left( 4 \right) }{16}} +{\frac {\zeta \left( 3 \right) \gamma}{3}}+{\frac {\zeta \left( 2 \right) {\gamma}^{2}}{4}}+{\frac {{\gamma}^{4}}{24}} \right) {z}^{3}+ \left( -{\frac {\zeta \left( 5 \right) }{5}}-{\frac {9\,\zeta \left( 4 \right) \gamma}{16}}-{\frac {\zeta \left( 3 \right) \zeta \left( 2 \right) }{6}}-{\frac {\zeta \left( 3 \right) {\gamma}^{2}}{ 6}}-{\frac {\zeta \left( 2 \right) {\gamma}^{3}}{12}}-{\frac {{\gamma} ^{5}}{120}} \right) {z}^{4}+ \left( {\frac {61\,\zeta \left( 6 \right) }{128}}+{\frac {\zeta \left( 5 \right) \gamma}{5}}+{\frac {9 \,\zeta \left( 4 \right) {\gamma}^{2}}{32}}+{\frac { \left( \zeta \left( 3 \right) \right) ^{2}}{18}}+{\frac {\zeta \left( 3 \right) \zeta \left( 2 \right) \gamma}{6}}+{\frac {\zeta \left( 3 \right) { \gamma}^{3}}{18}}+{\frac {\zeta \left( 2 \right) {\gamma}^{4}}{48}}+{ \frac {{\gamma}^{6}}{720}} \right) {z}^{5}+O \left( {z}^{6} \right) $$

Tal vez parte de la $\zeta(4)$ debe ser un $\zeta(2)^2$ y lo mismo para las $\zeta(6)$ para hacer el patrón reconocible?