Es la integración de "truco", válida para reducir mi integrando a una constante?

Question

$$\int_2^4 \frac{1}{\sqrt{\frac{\ln(3+x)}{\ln(9-x)}} +1}dx = 1$$

Me di cuenta que cuando $x$ fue de $2$ a $4$, $3+x$ pasó de $5$$7$, e $9-x$ fue de$7$$5$.

Me di cuenta de que si invertimos el intervalo de $9-x$ obtenemos $-(9-x)$ y cuyo intervalo va de $5$$7$. En resumen, llegué a la conclusión de que la inversión de un intervalo de $9-x$ rindió la expresión $3+x$.

Por lo tanto se me permite la integral anterior se $$\int_2^4 \frac{1}{\sqrt{\frac{\ln(3+x)}{\ln(9-x)}} +1} dx = \int_2^4 \frac{1}{\sqrt{\frac{\ln(3+x)}{\ln(3+x)}} +1} dx.$$

Efectivamente, los registros cancelados y yo me quedé con la $\int_2^4 {1\over 1+1}dx =1$.

Answer 1

Por supuesto que no, al menos no en general: el argumento es erróneo, aunque la función es muy inteligentemente.

$3+x$ $9-x$ puede cubrir el mismo intervalo de tiempo, pero para cada una de las $x$, estas dos expresiones son diferentes. Sólo coinciden una vez, de lo contrario se obtiene una fracción con diferentes lado superior e inferior. Aún más... incluso si usted quiere usar la simetría para argumentar la izquierda y la mitad derecha de la integral se anula de alguna manera, $\ln x$ no es una función lineal - su forma en la parte inferior y la parte superior del intervalo es completamente diferente. Si desea probar o refutar la simetría en este caso en particular, el secreto se encuentran más profundamente en las propiedades de la función dada, no sólo en la reversión del intervalo.

Usted podría tratar de usar este tipo de pensamiento para encontrar una sustitución que hace posible la integración de dominio y los términos en virtud de la raíz cuadrada simétrica.

En particular: si tratamos de $u=x-3$, obtenemos

$$\int_{-1}^1 \frac{1}{\sqrt{\frac{\ln (6+u)}{\ln (6-u)}}+1}du$$ que se ve un poco mejor. La verdadera pregunta es, si la cambiamos $u\iff -u$, ¿ el integrando parecerse a la original?

Hipótesis:

$$\frac{1}{\sqrt{\frac{\ln (6+u)}{\ln (6-u)}}+1}=1-\frac{1}{\sqrt{\frac{\ln (6-u)}{\ln (6+u)}}+1}$$

si $-6<u<6$. Se puede proceder por su cuenta?

Answer 2

Contraejemplo:

$$\int_2^4\frac{3+x}{9-x}dx=\int_2^4\left(1-\frac{6}{9-x}\right)dx=\left.\left(x+6\log(9-x)\right)\right|_2^4=2+6\log\frac37\ne\int_2^4dx.$$

Answer 3

$\newcommand{\bbx}[1]{\,\bbox[8px,border:1px groove armada]{{#1}}\,} \newcommand{\llaves}[1]{\left\lbrace\,{#1}\,\right\rbrace} \newcommand{\bracks}[1]{\left\lbrack\,{#1}\,\right\rbrack} \newcommand{\dd}{\mathrm{d}} \newcommand{\ds}[1]{\displaystyle{#1}} \newcommand{\expo}[1]{\,\mathrm{e}^{#1}\,} \newcommand{\ic}{\mathrm{i}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mrm}[1]{\mathrm{#1}} \newcommand{\pars}[1]{\left(\,{#1}\,\right)} \newcommand{\partiald}[3][]{\frac{\partial^{#1} #2}{\parcial #3^{#1}}} \newcommand{\raíz}[2][]{\,\sqrt[#1]{\,{#2}\,}\,} \newcommand{\totald}[3][]{\frac{\mathrm{d}^{#1} #2}{\mathrm{d} #3^{#1}}} \newcommand{\verts}[1]{\left\vert\,{#1}\,\right\vert}$ \begin{align} &\int_{2}^{4}{1 \over \root{\ln\pars{3 + x}/\ln\pars{9 - x}} + 1 }\,\dd x = \int_{2}^{4}{\root{\ln\pars{9 - x}} \over \root{\ln\pars{3 + x}} + \root{\ln\pars{9 - x}}}\,\dd x \\[1cm] = &\ {1 \over 2}\left\{\int_{2}^{4}{\root{\ln\pars{9 - x}} \over \root{\ln\pars{3 + x}} + \root{\ln\pars{9 - x}}}\,\dd x\right. \\[5mm] &\ \left. + \int_{2}^{4}{\root{\ln\pars{9 - \bracks{4 + 2 - x}}} \over \root{\ln\pars{3 + \bracks{4 + 2 - x}}} + \root{\ln\pars{9 - \bracks{4 + 2 - x}}}}\,\dd x\right\} = {1 \over 2}\int_{2}^{4}\dd x = \bbox[#ffe,10px,border:1px dotted navy]{\ds{1}} \end{align}