$ \Gamma (1/2-n+it)$ converge uniformemente

Question

Demuestra que $ \Gamma (1/2-n+it) \rightarrow 0$ uniformemente como $n \rightarrow\infty $ para $t \in\mathbb {R}$ donde $n$ es un entero positivo.

No estoy seguro de qué definición de $ \Gamma $ sería más fácil trabajar con él, tal vez con éste:

$$ \Gamma (1/2-n+it)= \dfrac {1}{1/2-n+it} \prod_ {m=1}^ \infty \dfrac { \left (1+ \frac1m\right )^{1/2-n+it}}{1+ \frac {1/2-n+it}{m}}$$

¿Cómo podemos ir desde aquí?

Answer 1

Tengan en cuenta que $ \Gamma (1/2-n+it)$ está limitado por $ \Gamma (1/2-n)$ por la definición integral, y mostrar que eso va a 0 por cualquier medio (como relacionarlo con $ \Gamma (1/2)$ por la ecuación de recursividad).

Edición: La recursividad $ \Gamma (x+1)=x \Gamma (x)$ .

$ \left \lvert\Gamma (1/2-n+it) \right \lvert = \left \lvert \frac { \Gamma (1/2+it)}{(1/2-1+it)(1/2-2+it) \cdots (1/2-n+it)} \right \lvert\leq\frac {1}{2(n-1)!} \left \lvert \Gamma (1/2+it) \right \lvert = \frac {1}{2(n-1)!} \left \lvert \int x^{-1/2t+it}e^x dx \right \lvert\leq \frac {1}{2(n-1)!} \int |x^{-1/2+it}|e^x dx= \frac {1}{2(n-1)!} \int x^{-1/2}e^x dx = \frac { \Gamma (1/2)}{2(n-1)!}$ .