¿Cómo encontrar el período de esta función periódica?

Question

¿Cómo puedo encontrar un período de esta función?

$$2\sin{3x} + 3\sin{2x}$$

¿Es aquí cualquier forma de ambos senos en definitiva?

Answer 1

Siempre se puede ir por el camino difícil de analizar, por arbitraria $T$: $$ 2 \sin(3 (x+T) ) + 3 \sin(2(x+T)) = \\ 2 \sin(3x) \cos(3T) + 2 \cos(3x) \sin(3T) + 3 \sin(2x) \cos(2T) + 2 \cos(2x) \sin(2T) $$ Al $T$ es igual a un período que usted debe tener $$ \sin(3T) = 0, \quad \sin(2T) = 0, \quad \cos(3T) = 1, \quad \cos(2T) = 1 $$ Desde $\sin(3T) = \sin(T+2T) = \sin(T) \underbrace{\cos(2T)}_1 + \cos(T) \underbrace{\sin(2T)}_0 = \sin(T)$, e $\cos(3T) = \cos(T) \cos(2T) - \sin(T) \sin(2T) = \cos(T)$. Tenemos: $$ \sin(T) = 0, \quad \sin(2T) = 0, \quad \cos(T) = 1, \quad \cos(2T) = 1 $$ Repetir el ejercicio vemos que $\sin(2T) = 0, cos(2T)=1$ es implícita por $\sin(T)=0$$\cos(T) = 1$. La solución de $\sin(T)=0$ $\cos(T)=1$ es fácil. Hay infinitamente muchas soluciones: $$ T = 2 \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} $$ La solución mínima es $T = 2\pi$.

Answer 2

Uno tiene período $\pi$ y el otro tiene período $2\pi /3$. Lo que quiere ahora es a ver cuando "coincidir". Esto se consigue en $2\pi$. Básicamente, se trata de $3\times 2\pi/3$ y $2\times \pi$. Estamos justo Cruz multiplicando períodos.

Answer 3

Para encontrar un período no es un problema, tenga en cuenta que $2\pi$ es un período de ambas partes.

Answer 4

El (la más pequeña) período puede ser demostrado ser $2\pi$ por otro método. Tenga en cuenta que $$f(x)=2\sin(3x)+3\sin(2x)=2\sin x(\cos x+1)(4 \cos x-1).$$ Así que los ceros de $f(x)$ $[0,2\pi]$ ocurren en $0, \pi, 2\pi$ y en otros dos puntos obtenidos de $4 \cos x-1=0$ se $\cos^{-1}(1/4)$ $2\pi-\cos^{-1}(1/4).$

En cualquier período de $f(x)$ este patrón de ceros tendría que repetir. Sin embargo, las estimaciones numéricas $$0.00,\ 1.318,\ 3.141,\ 4.965,\ 6,28$$ no están uniformemente espaciados, de hecho, las distancias son $$1.318,\ 1.823,\ 1.823,\ 1.318.$$ Parece claro que este espaciado desigual de los ceros hace que sea imposible para $f(x)$ a repetir ante un lleno total $2\pi$ va por.

EDIT: es porque este espacio es el patrón de la forma ABBA(donde las longitudes a,B diferente) que el período debe ser $2\pi$ y no menor. Una función diferente con cero espaciado patrón ABAB podría tener período de $\pi$. Si se extiende, el ABBA patrón es ABBAABBAABBA.., y no hay períodos de menos de cuatro letras de la longitud de este patrón. El patrón repetido ABABABAB.. tiene un plazo de dos letras, por lo tanto cero espaciado de que forma podría tener el período de $\pi$ en lugar de $2\pi$.

Answer 5

El período fundamental de la función de pecado es $2\pi$. Ahora, agregue el período de $2\pi$ en la función de cada pecado de dada la ecuación.

$y=2\sin(3x) + 3\sin(2x)$

$y=2\sin(3x+2\pi) + 3\sin(2x+2\pi)$

tomando el $3$ común de la diversión de pecado 1ª. y $2$ de la diversión de pecado 2.

$y=2\sin[3(x+2\pi/3)] + 3\sin[2(x+2\pi/2)] $

por lo tanto, el período del pecado 1 diversión. es $\frac{2\pi}{3}$

y el peiod 2 diversión de pecado. es ${\pi}{}$

Por último, añadir estas dos temporadas como: (2pi/3 + 2pi/2)

que es = $\frac{5\pi}{3}$ respuesta.