¿Podría haber una "raíz $n$-th" de la categoría $\mathsf{Set}$?

Question

Aquí es un experimento mental: Supongamos que no sabe qué conjuntos y funciones. La idea general de un topos es, que de alguna manera sirve como una base para las matemáticas. Así que vamos a no ser un mundo alternativo y un conocido topos $\mathcal{A}$", en la que todo el mundo hace las matemáticas", en este mundo. Finalmente, algunos categoría teórico afirma: "Oh, nuestra matemática universo no es como "fundamentales", como pensamos. He encontrado un topos que yo de ahora en adelante llamaremos $\mathsf{Set}$ e una $n\in \mathbb{N}$ ( $1$ ) tal que $\mathcal{A}$ es equivalente a $\mathsf{Set}^n$ " $\mathcal{A}$ $\mathsf{Set}^{45634}$ a lo largo de, por ejemplo).

Volvamos a este mundo con la pregunta obvia:

Podría haber una categoría $\sqrt[n]{\mathcal{\mathsf{Set}}}$ e una $n\in \mathbb{N}, n>1$ $\sqrt[n]{\mathcal{\mathsf{Set}}}^n $ equivalente a $\mathsf{Set}$?

¿Y si en vez de la $n$ es cualquier categoría de pequeña, además de a $1$?

Puede que haya un problema con esta pregunta: no estoy seguro, lo de la "categoría" que realmente debe significar en este contexto. Posiblemente, la respuesta "correcta" se supone, que la categoría de teoría se ocupa de las categorías internas de a $\sqrt[n]{\mathcal{\mathsf{Set}}}$. No sé por que, ya que no soy experto, por cualquier medio.

Answer 1

No es posible.

Deje $\mathcal{C}$ ser una categoría. Lo primero es lo primero: por una simetría argumento, vemos que la diagonal de $\mathcal{C}^n$ es cerrado en cualquiera de sus límites o colimits existen en $\mathcal{C}$; en particular, si $\mathcal{C}^n$ tiene límites finitos y colimits, entonces también lo hace $\mathcal{C}$. Supongamos $\mathcal{C}$ tiene una terminal de objeto $1$ y el binario subproducto $1 + 1$. A continuación, $$\mathcal{C}^n ((1, \ldots, 1), (1 + 1, \ldots, 1 + 1)) \cong \mathcal{C} (1, 1 + 1)^n$$ y, en particular, si este conjunto es finito, entonces el número de elementos es una $n$-ésima potencia. Pero si $\mathcal{C}^n$ es equivalente a $\mathbf{Set}$, esto obliga a $n = 1$.