Puzzle de cuerda de "Múltiples facetas"

Question

He hecho lo siguiente, me puede decir si es correcto?

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Si $n$ es el número de lados de la cuerda y $k$ es el número de rotación, por ejemplo, $k=0$ para la cola de cada lado para sí mismo, entonces creo que el número de colores necesarios es $$\# \tt{colours} = \gcd (n,k)$$

Creo que puedo ver de la cuerda como $G = (\mathbb Z / n \mathbb Z, +)$ $k$ como un elemento de $G$. A continuación, el orden de $k$ determina el número de lados que podamos alcanzar. En particular, podemos llegar a la $n/\gcd(n,k)$ lados con un color, el tamaño del subgrupo generado por a $k$ (que es igual al tamaño del subgrupo generado por a $\gcd(n,k)$).

Esto es correcto? Gracias por la ayuda!

Answer 1

De hecho podemos ver un $n$-cuerda faceta como $\mathbb Z / n \mathbb Z$ con adición. Si $k$ denota el número de lados que giran por el número de lados con un color que color es $n / \gcd (n,k)$ que es el tamaño del subgrupo generado por $k$.

Como señaló en los comentarios de Thomas Andrews, tenemos $\mathbb Z / k \mathbb Z \cong \mathbb Z / \gcd (n,k) \mathbb Z$. Si $\langle k \rangle$ denota el subgrupo generado por $k$ y $\langle k \rangle \cong \mathbb Z / (n / \gcd (n,k)) \mathbb Z$.