Sistema de ecuaciones de monedas de cinco y diez centavos

Question

John Cena tiene 20 monedas de cinco y diez centavos. Si sus monedas de cinco centavos fueran de diez y sus monedas de diez centavos fueran de cinco, tendría 70 centavos más. ¿Cuánto valen sus monedas?

así lo hice $$x+y=20$$ $$2x+y=70+x+y$$ $$x=70$$ $$y=-50$$

pero esto obviamente no es la respuesta y no se que hacer necesito ayuda

Answer 1

Resolver el siguiente sistema de $2$ ecuaciones en $2$ variables:

• $5x+10(20-x)=y$
• $10x+5(20-x)=y+70$

Lo que nos lleva a:

• $-5x+200=y$
• $5x+100=y+70$

Y luego a:

• $300=2y+70$

Y luego a:

• $115=y$ we have essentially answered the question at this point

Y luego a:

• $-5x+200=115$

Y luego a:

• $x=17$

Lo que significa que sus monedas valen $5\cdot17+10\cdot(20-17)=115$ centes.

Answer 2

Si no te gusta trabajar con números no enteros, puedes "cambiar las unidades" y pensar en la moneda americana en términos de monedas de cinco centavos. Sin embargo, hasta que te sientas cómodo trabajando con problemas de palabras (en particular, siendo capaz de seguir y replicar los enfoques "estándar" en las otras respuestas), te sugiero que intentes seguir primero las otras respuestas antes de intentar seguir esta.

Considerando la moneda en unidades de níquel, podemos decir que si sus níquel y sus monedas de diez centavos se intercambiaran, la cantidad de dinero adicional que tendría sería equivalente a 14 níquel. Si $x$ y $y$ son el número de monedas de cinco y diez centavos que tiene, entonces $x+y=20$ (como has dicho correctamente), el valor total de sus monedas es $x+2y$ (ya que una moneda vale $1$ un níquel y una moneda de diez centavos valen $2$ níquel), mientras que el valor total de sus monedas si se invirtieran sería $2x+y$ . Los dos últimos datos se combinan para dar $$(2x+y) - (x+2y) = 14$$ que se simplifica a $$x - y = 14.$$ El sistema de ecuaciones $$x+y = 20 \\ x-y = 14$$ produce $x = 17$ y $y = 3$ De donde se puede calcular que su valor total (en monedas de cinco centavos) es $$x + 2y = 17 + 2(3) = 23.$$ Así que tienes la cantidad de dinero que posee, en monedas de cinco centavos. Ahora conviértelo a dólares o centavos utilizando la conversión adecuada.

Answer 3

Una pista: Utilice las ecuaciones $$n+d=20$$ y $$n+0.5d=0.5n+d+7$$ Si necesita más detalles, se lo explicaré.

Answer 4

Por lo tanto, tenías razón en la forma en que empezaste. Voy a repetir lo que hiciste hasta ahora.

Queremos averiguar cuántas monedas de diez y cinco centavos tenemos. Representemos el número de monedas de diez centavos por $x$ y el número de monedas de cinco centavos por $y$ .

Ya que tenemos $20$ monedas en total, sabemos $x + y=20$ .

¿Cuánto dinero es esto? Bueno, una moneda vale $.05$ ( $5$ centavos) y un centavo vale $.1$ ( $10$ cents). Así, con $x + y$ cantidad de monedas ( $x$ siendo monedas de diez centavos y $y$ siendo monedas de cinco centavos), tenemos $.1x + .05y$ cantidad de dinero.

Ahora sabemos que si tuviéramos tantas monedas de cinco como de diez, y tantas de diez como de cinco, tendríamos $.7$ más ( $70$ más). Eso significa que nuestra cantidad original de $.1x + .05y$ más $.7$ debería ser igual a la cantidad que tenemos si se cambiara la cantidad de monedas de cinco y diez centavos. Entonces, tenemos la ecuación: $$.1x + .05y + .7 = .1y + .05x$$

Esta ecuación puede simplificarse para que sea $.05x - .05y = -.7$ .

Ahora tenemos dos ecuaciones y dos incógnitas:

$x + y = 20$

$.05x - .05 y = -.7$

Multiplicando la primera ecuación por $.05$ nos permite reescribir las ecuaciones como

$.05x + .05y = 20*.05 = 1$

$.05x - .05y = -.7$

Ahora, sumando las dos ecuaciones anteriores se obtiene:

$.1x = .3$

Y la resolución de $x$ da $x = .3/.1 = 3$ .

Desde $x$ era el número de monedas de diez centavos, significa que tenemos $3$ monedas de diez centavos. Desde que empezamos con $20$ monedas en total, significa que tenemos $20 - 3 = 17$ níquel.

A partir de aquí, se puede calcular el valor del dinero calculando $17*.05 + 3*.1$ .