Sabemos que si dos espacios topológicos $X$ y $Y$ son homeomórficos, entonces tienen los mismos grupos fundamentales, y la misma homología. En otras palabras, tenemos funtores $$\pi_1 : \mathsf{Top} \to \mathsf{Grp} \quad\text{and}\quad H_n : \mathsf{Top} \to \mathsf{Ab}$$ (en realidad, esto funciona incluso si los espacios son homotópicos equivalentes). Lo importante aquí es que estos funtores pueden utilizarse para demostrar que los dos espacios son no homeomórficos: por ejemplo $H_3(S^3) \cong \Bbb Z \not\cong 0 = H_3(S^2)$ para que $S^3$ y $S^2$ no son homeomorfas (ni siquiera tienen el mismo tipo de homotopía).
Me preguntaba si existe de alguna manera una "inversa" a esto, es decir, si hay una forma de demostrar que dos espacios topológicos son homeomorfos. Más concretamente:
¿Existe una categoría $\scr C$ y un functor $\mathsf F : \mathsf{Top} \to \mathscr C$ tal que $\mathsf F(X) \cong \mathsf F(Y) \implies X \cong Y$ ? Por supuesto, quiero evitar ejemplos obvios como $\mathsf{Id_{Top}}$ .
(Por cierto, no sé si existe un nombre para estos funtores, que son inyectivos sobre objetos. Fiel ya se utiliza para algo diferente). También aceptaría discutir el caso en que el homeomorfismo $ X \cong Y$ se sustituye por una equivalencia de homotopía $X \simeq Y$ .
Probando el functor $\mathsf F(X) = X \times X$ no funciona, como se muestra aquí . El functor $\mathsf F(X) = X \sqcup X$ no funciona también.
El resultado más cercano que he encontrado es un teorema de Gelfand y Kolmogorov : dados dos compacto y Hausdorff espacios, si los anillos conmutativos $C(X)$ y $C(Y)$ de funciones continuas $f\,:\,X,Y\rightarrow \mathbb{R}$ (bajo adición y multiplicación puntual) son isomorfas, entonces $X$ y $Y$ son homeomórficos. Tal vez podríamos intentar generalizar esto a la categoría de espacios localmente compactos y de Hausdorff, utilizando la compactación de Alexandorff.
Gracias por sus comentarios.