Encontrar el valor de $x$ $x^{x^4} =4$

Question

Encontrar el valor de $x$ $x^{x^4}=4$. Dadas las opciones son

1. $2^{1/2}$
2. $-2^{1/2} $
3. Ambos 1. & 2
4. Ninguna de las anteriores

De verificación de la opción, se obtiene la opción 3. como correcta. ¿Pero hay ningún método real para hacer el problema anterior?

Answer 1

No hay ninguna forma sistemática de resolver tales ecuaciones trascendentales. En este caso particular, podemos obtener mejor comprensión mediante la realización de una transformación para deshacerse de la exponenciación doble.

$$4=x^{x^4}=(x^4)^{x^4/4}=t^{t/4}.$$

Entonces

$$t^t=4^4$$ and an obvious solution is $ t=4$ corresponding to $x=\pm\sqrt2$.

Por el estudio de la función $t^t$, podemos comprobar que es creciente donde supera el $1$, para que la solución anterior es única.

Answer 2

$x\in\mathbb{R}$

$(x^{-4})^{x^4}=4^{-4}$ => $x^{-4}=4^{-1}$ => $x^4=4$ => $x=\pm\sqrt{2}$

EDITAR:

Jyrki Lahtonen me dio el asesoramiento para llevar a cabo la prueba con exactitud.

Por lo tanto: $x^{x^4}=4$, $(z;a):=(x^{-4};\frac{1}{4})$ => $z^{\frac{1}{z}}=a^{\frac{1}{a}}$

Tenemos $0<a^{\frac{1}{a}}<1$ por lo tanto tenemos una única solución positiva $z=a$.

Esto quiere decir $x^4=4$ y por lo tanto $x=\pm\sqrt{2}$.

EDIT 2:

$x^\frac{1}{x}$ es estrictamente creciente (por tanto biyectiva) $0<x<e$ por $(x^\frac{1}{x})'=x^{(-2+\frac{1}{x})}(1-\ln x)>0$.

Answer 3

Usted ya sabe cómo verificar las opciones aquí, pero usted está pidiendo una manera de resolver esta ecuación paso-por-paso. El problema es que no hay manera de encontrar una solución de forma cerrada para $x$ mediante funciones elementales. La solución sólo es expresable mediante una función especial conocido como el Lambert, W. Esta función es la inversa de la función de $f(x) = xe^x$. Usted puede leer más acerca de esto aquí.

Hay dos maneras de manejar esto "a partir de primeros principios".

La primera, que ya ha sido cubierto por @user90369, es encontrar soluciones a través de la observación (lo que significa que inspiró a adivinar y comprobar, en realidad), entonces demostrar rigurosamente que no hay otras soluciones que pueden existir.

El segundo es para encontrar una solución directa mediante el W. Lambert

Empezamos por la simplificación de la forma de la ecuación con la sustitución de $x = y^{\frac 14}$

Después de algunos primaria simplificación, usted terminará para arriba con $y^y= 256$. Este es, por supuesto, muy susceptible de una solución "por inspección", pero vamos a proceder como se pretendía originalmente.

$$y^y = 256$$

$$e^{\ln y e^{\ln y}} = 256$$

$$\ln y e^{\ln y} = \ln 256$$

$$\ln y = W(\ln 256)$$

$$y = e^{W(\ln 256)} = \frac{\ln 256}{W(\ln 256)}$$

cuando una propiedad de los Lambert W se utiliza para el paso final.

En este punto, usted tiene que utilizar una calculadora especial o software matemático para averiguar el valor de $W(\ln 256)$. Uno de esos calculadora está aquí.

El uso que podemos hacer el cálculo para encontrar ese $y$ está muy cerca de a $4$. Ahora podemos hacer un "inspirado adivinar" que es $4$ ya no más exacta de cálculo está disponible para nosotros. Nos encontramos con que funciona, por lo que aceptamos la solución (usted debe saber cómo encontrar a $x$ después de determinar el $y$).

Answer 4

$x^{x^4}=4$ En primer lugar, nos parece simple. $x^{x^4}=2^{2^1}$ Hicimos eso porque tenemos que hacer primero dos pasos iguales $x$ más adelante que tenemos que hacer nuestro tercer paso en la segunda ecuación, 4. $$x^{x^4}=2^(2^(1/4))^4$ $ $$x^x=2^{2^{1/4}}$ $ Hemos simplificado nuestro problema. Ahora debemos hacer dos pasos iguales en nuestra segunda ecuación. Si tomamos el cuadrado de nuestro número de potencia (para asegurarse de que son iguales), tenemos que tener la squarroot de nuestro número. Por tanto: $2^{2^{1/4}}= {2^{1/2}^{2^{1/2}}$ nuestra energía anterior $4$ fue incluso. Las soluciones son $-2^{1/2} $ y $2^{1/2}$.