¿Existe una $\sigma$-álgebra en $\mathbb{R}$ estrictamente entre las álgebras de Borel y Lebesgue?

Question

Entonces, después de demostrar que $\mathfrak{B}(\mathbb{R})\subset \mathfrak{L}(\mathbb{R})$, me pregunté, y ahora te pregunto a ti, ¿existe un conjunto $\mathfrak{S}(\mathbb{R})$ que cumpla con:

$$\mathfrak{B}(\mathbb{R} )\subset \mathfrak{S}(\mathbb{R})\subset \mathfrak{L}(\mathbb{R})$$

($\mathfrak{B}(\mathbb{R})$ es el conjunto de Borel en $\mathbb{R}$; $\mathfrak{L}(\mathbb{R})$ es la familia de conjuntos que son medibles de Lebesgue - que es un $\sigma$-álgebra.)

Answer 1

En ZFC la cardinalidad de $\frak B(\Bbb R)$ es $2^{\aleph_0}$ mientras que la cardinalidad de $\frak L(\Bbb R)$ es $2^{2^{\aleph_0}}$. Por esa virtud sola existen muchas otros conjuntos intermedios.

Si quieres considerar $\frak G(\Bbb R)$ como algún tipo de $\sigma$-álgebra, y no solo cualquier conjunto, deja $\cal A\subseteq\frak L(\Bbb R)$ tal que $|{\cal A}|<2^{2^{\aleph_0}}$, y considera $\frak G(\Bbb R)$ como la $\sigma$-álgebra generada por $(\frak B(\Bbb R)\cup\cal A)$. Si tomamos $\cal A$ tal que $\cal A\nsubseteq\frak B(\Bbb R)$ esto sería una $\sigma$-álgebra que contiene estrictamente los conjuntos de Borel y está estrictamente contenido en los conjuntos medibles de Lebesgue.

Editar:

Algun tiempo después del comentario de Byron abajo me di cuenta de que de hecho esto podría no ser preciso. De repente me di cuenta de que no puedo estar seguro de que $\frak L(\Bbb R)$ no sea generado por un conjunto de menos de $2^{2^{\aleph_0}}$ elementos. No es tan malo, sin embargo. Todavía se puede acotar con cierta certeza:

Requerimos que $|{\cal A}|^{\aleph_0}<2^{2^{\aleph_0}}$. Si $|{\cal A}|\leq\frak c$ entonces esto es en efecto verdadero, sin embargo se pueden encontrar modelos donde esto no necesariamente sea cierto para ningún subconjunto de $\cal P(\Bbb R)$.

Por lo que vale, yo hice una pregunta en MathOverflow hace algún tiempo, pero todavía no he recibido ninguna respuesta respecto a esta pregunta aún. Aun así, sigo creyendo que esto es cierto.

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Existe una clase de conjuntos llamados conjuntos analíticos que se definen como la imagen continua de los conjuntos de Borel (de hecho los conjuntos $G_\delta$ son suficientes, pero resulta ser lo mismo). Es un teorema que los conjuntos analíticos contienen estrictamente los conjuntos de Borel y son medibles según Lebesgue.

Por lo tanto, el complemento de los conjuntos analíticos (co-analíticos) también son conjuntos medibles de Lebesgue (también contienen todos los conjuntos de Borel, y un resultado sorprendente es que un conjunto es Borel si y solo si es a la vez analítico y co-analítico.)

Si consideras la $\sigma$-álgebra generada por la unión de todos los conjuntos analíticos y co-analíticos, te encontrarás aún dentro del universo medible de Lebesgue, pero con una familia de conjuntos estrictamente más grande.

Más lecturas sobre cómo nacen las $\sigma$-álgebras:

1. La $\sigma$-álgebra de subconjuntos de $X$ generada por un conjunto $\mathcal{A}$ es la sigma álgebra más pequeña que incluye a $\mathcal{A}$
2. Mapas Medibles y Funciones Continuas
3. Cardinalidad de la sigma álgebra de Borel

Answer 2

Comenzando en la década de 1920, varios matemáticos (principalmente rusos) estudiaron varias jerarquías de sigma-álgebras de longitud $\aleph_{1}$ que encajan entre los conjuntos analíticos y los niveles más bajos de conjuntos proyectivos. Investigé bastante esta literatura hace unos 5 años, pero he olvidado los detalles y no tengo mis hallazgos disponibles en este momento. También parece que nunca escribí un ensayo de sci.math sobre este tema, al menos no puedo encontrar uno. Sin embargo, las siguientes sugerencias deberían permitirte (y a otros interesados) comenzar a investigar este tema, y cuando tenga la oportunidad (puede tomar un tiempo), agregaré muchos más detalles.

Un artículo de revisión útil es

Vladimir G Kanovei, Ideas de Kolmogorov en la teoría de operaciones en conjuntos, Encuestas Matemáticas Rusas 43 #6 (1988), 93-128.

Desafortunadamente, este artículo no parece estar disponible de forma gratuita en internet. Sin embargo, 3 artículos útiles publicados en 1983 en Fundamenta Mathematica, por John P. Burgess y titulados Jerarquías clásicas desde un punto de vista moderno (Parte I, Parte II, Parte III), están todos disponibles de forma gratuita en internet.

Finalmente, también vale la pena buscar los conjuntos C de E. Selivanovskii (buscar también con la ortografía "Selivanovskij"), conjuntos que fueron introducidos y estudiados por Selivanovskii en un artículo (escrito en ruso) publicado en pp. 379-413 de Sbornik Matematiceskij 35 (1928).

Answer 3

La clase de conjuntos de Borel tiene el mismo tamaño que el conjunto de los números reales. La clase de conjuntos medibles de Lebesgue tiene el mismo tamaño que el conjunto de partes de los números reales.

Para ver esto: Cualquier subconjunto del conjunto de Cantor es Lebesgue medible, con medida 0. Dado que el conjunto de Cantor tiene el mismo tamaño que los números reales, esto muestra que hay al menos $|{\mathcal P}({\mathbb R})|$ conjuntos medibles de Lebesgue, pero por supuesto no puede haber más.

Por otro lado, los conjuntos de Borel pueden ser vistos como el producto de una construcción transfinita de longitud $\aleph_1$, el primer cardinal no numerable. Nota que $\aleph_1\le|{\mathbb R}|$. En esta construcción, empezamos con los conjuntos abiertos (hay $|{\mathbb R}|$ tales conjuntos), y en cada estadio añadimos complementos y uniones contables de conjuntos del estadio anterior. En los límites, tomamos la unión de los estadios hasta ahora considerados. Ninguno de estos estadios aumenta la cardinalidad de la clase de conjuntos recolectados hasta ahora, dado que $|{\mathbb R}|=|{\mathbb R}|^{\aleph_0}$.

Supongamos ahora que $\Sigma$ es un $\sigma$-álgebra de conjuntos de reales, y $|\Sigma|^{\aleph_0}=|\Sigma|$. Sea $A$ cualquier conjunto de reales que no esté en $\Sigma$, y sea $\Lambda$ el $\sigma$-álgebra generado por $\{A\}\cup\Sigma$. Entonces $|\Lambda|=|\Sigma|.

Esto muestra que hay muchas $\sigma$-álgebras entre los conjuntos de Borel y los conjuntos medibles de Lebesgue; de hecho, puedes crear una cadena muy larga de $\sigma$-álgebras en los conjuntos de Lebesgue, $$\Sigma_0\subsetneq \Sigma_1\subsetneq\dots\subsetneq\Sigma_\alpha\subsetneq\dots,$$ con $\Sigma_0$ el álgebra de conjuntos de Borel: Para $\alpha<|{\mathbb R}|^+$, todas las álgebras tienen el mismo tamaño que los reales. Puedes continuar más tiempo o parar cuando llegues a $|{\mathbb R}|^+$, dependiendo de la cardinalidad del conjunto de partes de los reales.

Answer 4

Una respuesta menos sofisticada, pero potencialmente útil: Sabes que la intersección de $\sigma$-álgebras es nuevamente un $\sigma$-álgebra. Si comienzas con $\mathfrak{B}(\mathbb{R})$ puedes poner alguna medida de probabilidad en ella y completarla bajo esta medida de probabilidad. Haciendo esto para cada medida de probabilidad, obtienes una gran familia de $\sigma$-álgebras que extienden a $\mathfrak{B}(\mathbb{R})$. Su intersección, que podrías llamar $\mathfrak{U}(\mathbb{R})$, es el $\sigma$-álgebra de conjuntos universalmente medibles. Los conjuntos analíticos mencionados anteriormente son todos universalmente medibles. Este es un hecho extremadamente útil.

En algunas aplicaciones como la estadística, quieres trabajar con toda una familia de medidas en un $\sigma$-álgebra. Ahora, por construcción, puedes extender cada medida de probabilidad en $\mathfrak{B}(\mathbb{R})$ de forma única a todo $\mathfrak{U}(\mathbb{R})$. Si $A\subseteq\mathfrak{B}(\mathbb{R}^2)$, la proyección en la primera coordenada generalmente no estará en $\mathfrak{B}(\mathbb{R})$, pero será analítica y, por lo tanto, estará en $\mathfrak{U}(\mathbb{R})$. Es posible reescribir problemas de optimización en términos de tales proyecciones. Entonces, sea $f:A\to\mathbb{R}$ una función mensurable. Define una función $m:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ por $m(r)=\inf\{t:(r,t)\in A\}$. El ínfimo se entiende en los números reales extendidos, de modo que $m(r)=\infty$ si no hay un $t$ tal que $(r,t)\in A$. En general, $m$ no será $\mathfrak{B}(\mathbb{R})$-medible, pero será $\mathfrak{U}(\mathbb{R})$-medible. Para ver esto último, notamos que podemos reescribir $\{r:m(r)<\alpha\}$ como la proyección de $A\cap\mathbb{R}\times(-\infty,\alpha)$ en la primera coordenada, un conjunto que es analítico y por lo tanto está en $\mathfrak{U}(\mathbb{R})$. Esta idea tiene aplicaciones muy importantes. En la programación dinámica estocástica, puede ser que la función de valor no sea $\mathfrak{B}(\mathbb{R})$-medible, pero sea $\mathfrak{U}(\mathbb{R})$-medible por esencialmente la razón que acabo de dar.

Answer 5

Al repasar una pregunta antigua, creo que esta es una situación donde el lenguaje de los submodelos elementales es conveniente.

Es fácil construir un conjunto $M$ con las siguientes propiedades (por ejemplo, a través de repetidos Lowenheim-Skolem para construir una cadena elemental de longitud $\omega_1$):

1. $M\prec V$ (o $M\prec H_\kappa$ para $\kappa$ "lo suficientemente grande" si se prefiere),

2. $M$ está cerrado bajo $\omega$-secuencias, y

3. $\vert M\vert = \mathfrak{c}$ (por supuesto, $\vert M\vert<2^\mathfrak{c}$ es realmente todo lo que necesitamos).

Estas propiedades aseguran que $M$ contiene cada número real y cada conjunto Borel, no contiene todos los conjuntos Lebesgue medibles, y satisface lo suficiente de la verdadera teoría del universo para poder relativizar conceptos y hechos básicos a $M$. En particular, automáticamente obtenemos lo siguiente:

$\mathfrak{L}(\mathbb{R})^M=\mathfrak{L}(\mathbb{R})\cap M$ es un $\sigma$-álgebra estrictamente entre $\mathfrak{B}(\mathbb{R})$ y $\mathfrak{L}(\mathbb{R})$.

Observa que no sería suficiente reemplazar la condición $(2)$ simplemente con "$\mathfrak{B}(\mathbb{R})\subseteq M$" - también usamos la cerradura bajo $\omega$ para asegurar que cualquier cosa que $M$ piense que es un $\sigma$-álgebra realmente lo sea.

Es cierto que esto no es muy diferente de las respuestas existentes, ya que estamos ocultando la parte de "cerrado bajo operaciones apropiadas" en la construcción de $M$ en sí. Sin embargo, creo que hace las cosas más simples de entender, y produce $\sigma$-álgebras intermedias de un sabor algo diferente.