Numéricamente equivalente divisores en una superficie

Question

¿Qué es un ejemplo de los divisores en una superficie que son numéricamente equivalentes, pero no linealmente equivalentes? Puede una curva de ser numéricamente igual a 0?

No tengo una buena intuición para esto. En el espacio proyectivo, cualquiera de las dos curvas se cruzan. En algunos menos agradable superficies, algunas curvas no se cruzan. Pero se puede tener una curva que cruza ninguna otra curva?

Answer 1

Para tu primera pregunta, considere la posibilidad de una superficie reglada $S$ a través de una curva de $C$. Si el género de las $C$ es de no menos de $1$, ninguna de las dos diferentes fibras son numéricamente equivalentes, pero no de forma lineal equivalente. De hecho, para cualquier variedad lisa $X$, cada par de algebraicamente equivalentes divisores son linealmente equivalentes si y sólo si $Pic^0(X)$ es trivial, ya que $NS(X)=Pic(X)/Pic^0(X)$. Aviso que de manera algebraica de equivalencia es más fino que numéricamente equivalencia, por lo $Pic^0(X)$ trivial es una condición necesaria para cada par de numéricamente equivalente divisores de a es linealmente equivalente.

Para tu segunda pregunta, en cualquier curva de $C$ no puede ser numéricamente equivalente a $0$ en cualquier (nonsingular) variedad proyectiva $X$. Para la razón, elegir una incrustación de $X$ a la proyectiva del espacio, y denotan la hyperplane sección de $X$$H$,$C\cdot H=\deg C>0$, lo que significa que $C$ no puede ser numéricamente trivial. Observe que cada nonsingular completa de la superficie es proyectiva, por lo que cualquier curva sobre una superficie no puede ser numéricamente trivial.

Sin embargo, si $X$ es nonsingular, completo pero no proyectiva, puede suceder que la suma de dos diferentes curvas pueden ser numéricamente trivial (ver Hironaka el ejemplo: Ejemplo 3.4.1 en el Apéndice B de Hartshorne la "Geometría Algebraica").