Demostrando que $\lim_{x\to\infty}f(x)=\lim_{x\to 0}f(\frac{1}{x})$ para cualquier función de $f$

Question

Demostrar que para cualquier $f(x)$, $$\lim_{x\to\infty}f(x)=\lim_{x\to 0}f\left(\frac{1}{x}\right).$$

No sé con certeza si esto es cierto, simplemente lo pensé. Parece muy intuitivo para un sencillo $f(x)$, pero para los más complejos (tales como la definición de $e$, donde este trabajo) yo no estaría seguro de si ha trabajado siempre. Gracias!

Answer 1

La suposición es que para todos los $\epsilon>0$ no es un porcentaje ($N$ tal que para $n\geq N$ $\lvert f(x) - L\rvert < \epsilon$ decir.

Ahora Vamos a $\epsilon>0$ ser dado. Y elija $N$, de modo que para $x>N$ realmente tenemos $\lvert f(x) - L\rvert < \epsilon$. Ahora, a continuación, lo que significa que para $\frac{1}{x} < \frac{1}{N}$ tenemos $\lvert f(x) - L\rvert < \epsilon$. Así que para todos los $0<y< \frac{1}{N}$ (tenga en cuenta que $y = \frac{1}{x}$ algunos $x$) ha $\lvert f(y^{-1}) - L\rvert < \epsilon$.

Así que hemos encontrado una $\delta = \frac{1}{N}$ tal que para todos los $0<y<\delta$ tal que $\lvert f(y^{-1}) - L\rvert < \epsilon$. Por lo tanto

$$ \lim_{y\to 0^+} f(y^{-1}) = \lim_{x\to \infty} f(x) = L. $$ Aquí hemos supuesto que el límite es igual a un número. Si el límite es infinito, entonces usted probablemente puede encontrar un argumento muy similar a lo que he escrito aquí.